Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học phẳng, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép vị tự trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự, O là tâm vị tự.

• Tâm vị tự O: Điểm cố định trong phép vị tự.
• Tỉ số vị tự k: Xác định độ lớn của phép biến hình. Nếu k > 1, phép vị tự là phép phóng to. Nếu 0 < k < 1, phép vị tự là phép thu nhỏ.

2. Tính chất của phép vị tự

Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B bất kỳ, thì khoảng cách giữa A’ và B’ (ảnh của A và B qua phép vị tự) bằng k lần khoảng cách giữa A và B.

Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng k lần bán kính của đường tròn ban đầu.

3. Cách xác định phép vị tự

Để xác định một phép vị tự, cần xác định tâm vị tự O và tỉ số vị tự k.

Nếu biết ba điểm A, B, C và ba điểm tương ứng A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua phép vị tự, ta có thể tìm tâm vị tự O bằng cách giải hệ phương trình sau:

1. Vector OA’ = k * Vector OA
2. Vector OB’ = k * Vector OB
3. Vector OC’ = k * Vector OC

4. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng, bao gồm:

• Chứng minh sự đồng dạng của hai tam giác hoặc hai đa giác.
• Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và kích thước của các hình.
• Xây dựng các hình tương đồng.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;4), C(5;1). Tìm ảnh A’, B’, C’ của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = 2.

Giải:

• A’(2*1; 2*2) = (2;4)
• B’(2*3; 2*4) = (6;8)
• C’(2*5; 2*1) = (10;2)

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0. Tìm ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O(1;1) tỉ số k = -1.

Giải:

Vì k = -1, d’ sẽ song song với d. Để tìm phương trình d’, ta lấy một điểm M(0;1) thuộc d, tìm ảnh M’ của M qua phép vị tự, sau đó thay M’ vào phương trình đường thẳng d’.

Vector OM = (0-1; 1-1) = (-1; 0)

Vector OM’ = -1 * Vector OM = (1; 0)

M’ = (1+1; 0+1) = (2;1)

Phương trình d’ có dạng: a(x-2) + b(y-1) = 0, với a+b = 0 (vì d’ song song với d). Chọn a = 1, b = -1, ta có phương trình d’: x - y - 1 = 0.

6. Kết luận

Bài học về phép vị tự đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép biến hình này. Việc nắm vững lý thuyết và tính chất của phép vị tự sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học phẳng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo và các bài toán thực tế khác.