Bài 1. Nguyên hàm

Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12: Tổng quan

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc tính tích phân. Hiểu rõ về nguyên hàm sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân một cách dễ dàng và chính xác hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất và các phương pháp tìm nguyên hàm, dựa trên nội dung của SGK Toán 12 tập 2.

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc (a, b). Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx, với k là hằng số.
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

3. Các Nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là một số nguyên hàm cơ bản thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

a. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp. Ta đặt u = g(x), suy ra du = g'(x)dx, và biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn.

b. Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp này được sử dụng khi tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du

c. Phương pháp phân tích thành nhân tử

Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có thể phân tích thành nhân tử. Sau khi phân tích, ta có thể sử dụng các phương pháp khác để tìm nguyên hàm.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫x² dx

Áp dụng công thức ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, ta có ∫x² dx = (x³)/3 + C

Ví dụ 2: Tính ∫sin(2x) dx

Đặt u = 2x, suy ra du = 2dx, do đó dx = du/2. Vậy ∫sin(2x) dx = ∫sin(u) (du/2) = (1/2)∫sin(u) du = (1/2)(-cos(u)) + C = -(1/2)cos(2x) + C

6. Bài tập luyện tập

Tính ∫x⁵ dx
Tính ∫cos(3x) dx
Tính ∫(x² + 1) dx
Tính ∫e^-2x dx

Kết luận

Bài 1. Nguyên hàm là nền tảng quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán tích phân. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các phương pháp tìm nguyên hàm sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập Toán 12. Chúc bạn học tốt!