Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2

Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem (t = 0) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số (T(t)). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi (T'(t) = - frac{3}{2}{e^{ - frac{t}{{50}}}})(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm (t = 30) phút.

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Để tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút, ta làm như sau:

- Tìm hàm nhiệt độ \(T(t)\) dựa vào hàm \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\) bằng cách áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

- Xác định C từ điều kiện \(T(0) = 95\).

- Thay \(t = 30\) vào \(T(t)\) và tính nhiệt độ.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:

\(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\).

Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):

\(\int {\left( { - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\int {\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}.t}}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}^t}dt} \)

\( = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{\ln \left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}} + C = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{^{ - \frac{1}{{50}}}}} + C = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).

Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).

Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

\(T(0) = 95\)

\(95 = 75{e^0} + C\)

\(95 = 75 + C\)

\(C = 20\).

Vậy hàm số \(T(t)\) là:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20\).

Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):

\(T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\).

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng soạn toán. Với bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2: Phương pháp tiếp cận chi tiết

Bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số, hoặc giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này giúp học sinh tránh được những sai sót không đáng có và tập trung vào việc giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.

Áp dụng kiến thức về đạo hàm

Để giải bài tập 4.9, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

Định nghĩa đạo hàm
Các quy tắc tính đạo hàm
Ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số (tìm khoảng đơn điệu, cực trị, điểm uốn)

Lời giải chi tiết bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2

Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải một ví dụ cụ thể về bài tập 4.9. Giả sử bài tập yêu cầu khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Tính đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Tìm điểm dừng: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Khảo sát sự biến thiên:
- Với x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
- Với 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Với x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị y = -2.

Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

Ngoài bài tập khảo sát hàm số, bài tập 4.9 còn có thể xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán vật lý, kinh tế.

Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:

Phương pháp xét dấu đạo hàm.
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
Phương pháp đổi biến.

Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập 4.9, học sinh cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập luyện tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.