Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Mục 2 SGK Toán 12 tập 2 là một phần quan trọng, đòi hỏi các em phải nắm vững các khái niệm và kỹ năng liên quan. Chúng tôi sẽ cùng các em khám phá và giải quyết từng bài tập một cách cẩn thận và chính xác.
Tìm a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \) b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:
\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)
b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)
b)
Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)
Tính \(\frac{2}{3} + 1\):
\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)
Do đó:
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)
b) Tính tích phân
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)
Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):
\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)
Do đó:
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)
\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)
b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)
c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.
c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):
\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân:
\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
b)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
Kết quả:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
c)
Ta có:
\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin x;\)
b) \(y = - \cos x;\)
c) \(y = \tan x;\)
d) \(y = - \cot x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)
c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):
Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):
Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).
Phương pháp giải:
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.
- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):
\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
- Với \(a = 3\), ta có:
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:
- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:
\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)
- Vì \({3^0} = 1\), ta có:
\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)
- Theo điều kiện ban đầu:
\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)
Kết quả:
\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.
- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:
\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
\(G(x) = - \cot x\)
\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:
\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:
\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:
\(T(t) = {t^3} + 1\)
Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:
\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:
\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)
b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)
b)
Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết:
a) Tính tích phân
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)
Tính \(\frac{2}{3} + 1\):
\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)
Do đó:
\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)
b) Tính tích phân
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):
\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)
Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):
\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)
Do đó:
\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).
b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).
Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)
\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)
Vậy:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)
Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm
a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)
b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)
c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.
c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:
\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a)
Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):
\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)
Áp dụng quy tắc tích phân:
\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
b)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
Kết quả:
\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)
c)
Ta có:
\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)
Áp dụng quy tắc tích phân vào:
\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Kết quả:
\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).
Phương pháp giải:
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.
- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.
Lời giải chi tiết:
Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)
- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):
\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
- Với \(a = 3\), ta có:
\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:
- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:
\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)
- Vì \({3^0} = 1\), ta có:
\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)
- Theo điều kiện ban đầu:
\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)
Kết quả:
\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \sin x;\)
b) \(y = - \cos x;\)
c) \(y = \tan x;\)
d) \(y = - \cot x\).
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)
b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)
c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):
Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):
Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:
\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.
- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:
\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy nguyên hàm cần tìm là:
\(G(x) = - \cot x\)
\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.
Phương pháp giải:
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.
- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:
\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:
\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:
\(T(t) = {t^3} + 1\)
Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút:
\(T(3) = {3^3} + 1 = 27 + 1 = {28^\circ }C\)
Mục 2 trong SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết cơ bản, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề sẽ giúp học sinh tiếp cận bài toán một cách logic và tìm ra lời giải chính xác.
Các bài tập trên trang 4 thường xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Ví dụ:
Trang 5 thường tập trung vào việc tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho trước. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần sử dụng kiến thức về đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến và sau đó áp dụng công thức phương trình đường thẳng để tìm phương trình tiếp tuyến.
Các bài tập trên trang 6 thường yêu cầu học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0 và sau đó so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các đầu mút của khoảng để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Trang 7 thường chứa các bài toán tối ưu, yêu cầu học sinh tìm giá trị của một đại lượng nào đó sao cho đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần xây dựng hàm số biểu diễn đại lượng cần tìm và sau đó áp dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Để giải bài tập Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả, học sinh nên:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Đạo hàm của x^n | n*x^(n-1) |
| Đạo hàm của sin(x) | cos(x) |
| Đạo hàm của cos(x) | -sin(x) |
Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
