Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Hãy cùng khám phá lời giải ngay dưới đây!
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) (x{e^x}) và ((x - 1){e^x}); b) (frac{1}{2}{ln ^2}x) và (frac{{ln x}}{x}).
Đề bài
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) \(x{e^x}\) và \((x - 1){e^x}\);
b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để xác định xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại, ta cần tính đạo hàm của một hàm số và kiểm tra xem có bằng với hàm số còn lại hay không.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(f(x) = (x - 1){e^x}\), ta tính đạo hàm:
\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x - 1){e^x}] = {e^x} + (x - 1){e^x} = x{e^x}\)
Vậy \((x - 1){e^x}\) là nguyên hàm của \(x{e^x}\).
b) Xét \(f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x\), ta tính tích phân:
\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}\)
Vậy \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) là nguyên hàm của \(\ln x\).
Bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Đề bài: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị.
Giải:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số. Ngoài việc tìm cực trị, đạo hàm còn được sử dụng để:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc nắm vững các bước giải bài tập và ứng dụng đạo hàm một cách linh hoạt sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học Toán 12.
