Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Tìm: a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiếtGiải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:

\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)

Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = - 2\cot u + C = - 2\cot 2x + C\)

c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Tính từng tích phân:

\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)

Vậy kết quả là:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá đặc sắc thuộc chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Với bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2: Phương pháp và Lời giải Chi Tiết

Bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và cuối cùng là vẽ đồ thị hàm số.

I. Đề bài bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2

Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài chính xác của bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2. (Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)

II. Phương pháp giải bài tập khảo sát hàm số

Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần tuân theo các bước sau:

  1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
  2. Tính đạo hàm cấp nhất: y' = f'(x)
  3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
  4. Xét dấu đạo hàm cấp nhất: Lập bảng xét dấu đạo hàm cấp nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
  5. Tìm cực trị: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm cấp nhất để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
  6. Tính đạo hàm cấp hai: y'' = f''(x)
  7. Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn của hàm số.
  8. Xét dấu đạo hàm cấp hai: Lập bảng xét dấu đạo hàm cấp hai để xác định khoảng lồi, lõm của hàm số.
  9. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được để vẽ đồ thị hàm số.

III. Lời giải chi tiết bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2

Bước 1: Xác định tập xác định

Tập xác định của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 là D = R (tập hợp tất cả các số thực).

Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhất

y' = 3x^2 - 6x

Bước 3: Tìm điểm tới hạn

Giải phương trình y' = 0:

3x^2 - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Bước 4: Xét dấu đạo hàm cấp nhất

x-∞02+∞
y'+-+
Hàm sốĐồng biếnNghịch biếnĐồng biến
Bước 5: Tìm cực trị

Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại. Giá trị cực đại là y(0) = 2.

Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.

Bước 6: Tính đạo hàm cấp hai

y'' = 6x - 6

Bước 7: Tìm điểm uốn

Giải phương trình y'' = 0:

6x - 6 = 0

x = 1

Bước 8: Xét dấu đạo hàm cấp hai

(Bảng xét dấu đạo hàm cấp hai sẽ được chèn vào đây)

Bước 9: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các thông tin đã thu thập được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. (Hình ảnh đồ thị sẽ được chèn vào đây)

IV. Kết luận

Thông qua việc giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2, chúng ta đã nắm vững phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc hiểu rõ các bước và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ giúp các em giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12