Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tìm: a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)
b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết
a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:
\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)
Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = - 2\cot u + C = - 2\cot 2x + C\)
c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:
\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)
Tính từng tích phân:
\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)
Vậy kết quả là:
\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)
Bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và cuối cùng là vẽ đồ thị hàm số.
Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài chính xác của bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2. (Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần tuân theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định
Tập xác định của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 là D = R (tập hợp tất cả các số thực).
Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhấty' = 3x^2 - 6x
Bước 3: Tìm điểm tới hạnGiải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Xét dấu đạo hàm cấp nhấtx | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
---|---|---|---|---|
y' | + | - | + | |
Hàm số | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Bước 6: Tính đạo hàm cấp haiy'' = 6x - 6
Bước 7: Tìm điểm uốnGiải phương trình y'' = 0:
6x - 6 = 0
x = 1
Bước 8: Xét dấu đạo hàm cấp hai(Bảng xét dấu đạo hàm cấp hai sẽ được chèn vào đây)
Bước 9: Vẽ đồ thị hàm sốDựa vào các thông tin đã thu thập được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. (Hình ảnh đồ thị sẽ được chèn vào đây)
Thông qua việc giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2, chúng ta đã nắm vững phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc hiểu rõ các bước và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ giúp các em giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.