Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaitoan.edu.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá và giải chi tiết các bài tập trong mục 3 trang 8 và 9 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là cung cấp cho các em những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp đầy đủ các kiến thức nền tảng cần thiết trước khi đi vào giải bài tập cụ thể.
Trang 8 thường chứa các bài tập áp dụng kiến thức cơ bản của mục 3. Chúng ta sẽ giải từng bài tập một cách chi tiết, bao gồm:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản để tìm ra kết quả. Chúng tôi sẽ trình bày lời giải một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các chú thích cần thiết.
Trang 9 thường chứa các bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo. Chúng ta sẽ giải các bài tập này bằng cách:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp tối ưu hóa để tìm ra kết quả. Chúng tôi sẽ cung cấp các lời giải chi tiết, kèm theo các giải thích rõ ràng.
Mục 3 SGK Toán 12 tập 2 có thể bao gồm các chủ đề sau:
Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp các bài viết hướng dẫn chi tiết về từng chủ đề này, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Để giải bài tập Toán 12 một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:
Giaitoan.edu.vn là một trang web học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng, bài tập và lời giải chi tiết cho các môn Toán từ lớp 6 đến lớp 12. Chúng tôi cam kết mang đến cho các em một môi trường học tập hiệu quả, giúp các em đạt được kết quả tốt nhất trong học tập.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Đạo hàm của x^n | n*x^(n-1) |
| Tích phân của x^n | (x^(n+1))/(n+1) + C |
Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
