Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 2 trong chương 5 sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 2 đi sâu vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.

I. Lý thuyết cơ bản về phương trình đường thẳng trong không gian

Một đường thẳng trong không gian có thể được xác định bằng nhiều cách khác nhau, nhưng phổ biến nhất là thông qua một điểm và một vectơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng có thể được biểu diễn dưới các dạng sau:

Dạng tham số:r = r₀ + t.a, trong đó r₀ là vectơ vị trí của một điểm thuộc đường thẳng, a là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và t là tham số thực.
Dạng chính tắc: (x - x₀) / a₁ = (y - y₀) / a₂ = (z - z₀) / a₃, trong đó (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng, và (a₁, a₂, a₃) là tọa độ của vectơ chỉ phương.

Lưu ý: Vectơ chỉ phương của đường thẳng có vai trò quan trọng trong việc xác định hướng của đường thẳng. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Bài tập tìm phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương: Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh áp dụng trực tiếp các công thức đã học.
Bài tập tìm phương trình đường thẳng khi biết hai điểm: Trong trường hợp này, học sinh cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng bằng cách lấy hiệu vectơ của hai điểm đã cho.
Bài tập xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng: Học sinh cần so sánh vectơ chỉ phương của hai đường thẳng để xác định chúng song song, vuông góc hay cắt nhau.
Bài tập tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Học sinh cần giải hệ phương trình bao gồm phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (2; -1; 1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:

x = 1 + 2t

y = 2 - t

z = 3 + t

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

d₁: (x - 1) / 2 = (y + 1) / 1 = (z - 2) / 3

d₂: (x + 1) / 1 = (y - 2) / 2 = (z + 3) / 1

Giải: Vectơ chỉ phương của d₁ là a₁ = (2; 1; 3), vectơ chỉ phương của d₂ là a₂ = (1; 2; 1). Vì a₁ và a₂ không cùng phương nên hai đường thẳng không song song. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không bằng cách giải hệ phương trình. Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau, nếu hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.

IV. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm B(0; -1; 4) và có vectơ chỉ phương a = (-1; 3; 2).
Bài 2: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d₁: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 2 - t.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải các bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!