Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo. Chúng tôi hiểu rằng việc giải các bài tập Toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những chủ đề phức tạp.
Do đó, chúng tôi đã biên soạn bộ giải bài tập này với mục đích giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để hiểu rõ hơn về các khái niệm và ứng dụng của Toán học trong thực tế.
Ở trang 53, các bài tập thường xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số lượng giác cơ bản như sinx, cosx, tanx, cotx. Để giải các bài tập này, bạn cần nắm vững các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác và áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Trang 54 thường tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, bao gồm việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải các bài tập này, bạn cần nắm vững các bước khảo sát hàm số bằng đạo hàm.
Trang 55 thường chứa các bài toán tối ưu, yêu cầu bạn tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng cho trước. Để giải các bài toán này, bạn cần sử dụng các phương pháp tìm cực trị và kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên.
Các trang 57, 58, 59 tiếp tục cung cấp các bài tập tương tự như trên, với độ khó tăng dần. Bạn cần luyện tập thường xuyên để nắm vững các kỹ năng giải toán và áp dụng chúng một cách hiệu quả.
Trang 65 thường chứa các bài tập tổng hợp và ôn tập, giúp bạn củng cố kiến thức và kỹ năng đã học. Đây là cơ hội tốt để bạn tự đánh giá khả năng của mình và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.
Hy vọng rằng bộ giải bài tập mục 3 trang 53, 54, 55, 65, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo này sẽ giúp bạn học tập tốt hơn và đạt được kết quả cao trong môn Toán. Chúc bạn thành công!
