Bài 4. Cấp số nhân

Bài 4. Cấp số nhân - SGK Toán 11 Nâng cao: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và chuỗi số trong chương trình Toán 11 Nâng cao.

Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Các tính chất cơ bản của cấp số nhân

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
Tổng vô hạn của cấp số nhân: S = a / (1 - q) nếu |q| < 1

Các dạng bài tập thường gặp về cấp số nhân

Xác định cấp số nhân: Kiểm tra xem một dãy số đã cho có phải là cấp số nhân hay không bằng cách tính tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp.
Tìm số hạng tổng quát: Sử dụng công thức u_n = a.q^n-1 để tìm số hạng thứ n của cấp số nhân.
Tìm công bội: Xác định công bội q bằng cách chia một số hạng cho số hạng đứng trước nó.
Tính tổng n số hạng đầu tiên: Sử dụng công thức S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) để tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Tính tổng vô hạn: Sử dụng công thức S = a / (1 - q) để tính tổng vô hạn của cấp số nhân khi |q| < 1.

Ví dụ minh họa

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

Số hạng thứ 5: u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 162
Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = u₁(1 - q⁵) / (1 - q) = 2(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2(1 - 243) / (-2) = 242

Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 11 Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như tính lãi kép, tính sự tăng trưởng dân số, tính sự phân rã của các chất phóng xạ,...

Kết luận

Bài học về cấp số nhân đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân trong chương trình Toán 11 Nâng cao.