Bài 5. Phương trình đường tròn

Bài 5. Phương trình đường tròn - SBT Toán 10 - Cánh diều

I. Lý thuyết cơ bản về phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn là một phương trình toán học mô tả tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định (tâm đường tròn) một khoảng cách không đổi (bán kính). Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a, b) và bán kính R là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• (x, y) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường tròn.
• (a, b) là tọa độ của tâm đường tròn.
• R là bán kính của đường tròn.

II. Các dạng phương trình đường tròn thường gặp

1. Phương trình chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R²
2. Phương trình tổng quát: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c = R²)

III. Bài tập vận dụng - Giải Bài 5. Phương trình đường tròn - SBT Toán 10 - Cánh diều

Bài 1: Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau:

• a) (x - 2)² + (y + 3)² = 9
• b) x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Giải:

• a) Tâm I(2, -3), bán kính R = √9 = 3
• b) x² - 4x + y² + 6y = 3
• (x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
• (x - 2)² + (y + 3)² = 16
• Tâm I(2, -3), bán kính R = √16 = 4

Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(1, -2) và đi qua điểm A(3, 1).

Giải:

Bán kính R = IA = √((3 - 1)² + (1 - (-2))²) = √((2)² + (3)²) = √(4 + 9) = √13

Phương trình đường tròn: (x - 1)² + (y + 2)² = 13

Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 0), C(2; 1).

Giải:

Giả sử phương trình đường tròn có dạng x² + y² + 2ax + 2by + c = 0

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình, ta được hệ phương trình:

• 0² + 1² + 2a(0) + 2b(1) + c = 0 => 2b + c = -1
• 1² + 0² + 2a(1) + 2b(0) + c = 0 => 2a + c = -1
• 2² + 1² + 2a(2) + 2b(1) + c = 0 => 4a + 2b + c = -5

Giải hệ phương trình này, ta tìm được a, b, c và thay vào phương trình đường tròn.

IV. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các bài tập cơ bản, các em có thể tìm hiểu thêm về các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn như:

• Xác định vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng.
• Tìm giao điểm của đường tròn và đường thẳng.
• Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Việc nắm vững kiến thức về phương trình đường tròn là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức hình học giải tích nâng cao hơn.

Chúc các em học tốt!