Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

I. Định lý Cosin

Định lý Cosin là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết độ dài ba cạnh. Định lý Cosin được phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:
a² = b² + c² - 2bc.cosA
b² = a² + c² - 2ac.cosB
c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
A, B, C là số đo ba góc của tam giác.

II. Định lý Sin

Định lý Sin liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác và sin của các góc đối diện. Định lý Sin được phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Trong đó:

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
A, B, C là số đo ba góc của tam giác.
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

III. Ứng dụng của Định lý Cosin và Định lý Sin

1. Giải tam giác:

Giải tam giác là tìm ra các yếu tố còn thiếu của tam giác khi biết một số yếu tố ban đầu. Định lý Cosin và Định lý Sin là những công cụ quan trọng để giải tam giác.

2. Tính góc:

Khi biết độ dài ba cạnh của tam giác, ta có thể sử dụng Định lý Cosin để tính các góc của tam giác.

3. Tính cạnh:

Khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa, ta có thể sử dụng Định lý Cosin để tính cạnh còn lại. Khi biết độ dài một cạnh và các góc, ta có thể sử dụng Định lý Sin để tính các cạnh còn lại.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc A = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng Định lý Cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60^o

BC² = 25 + 49 - 70.0.5

BC² = 74 - 35 = 39

BC = \sqrt{39} ≈ 6.24cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45^o, góc C = 60^o. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Ta có góc A = 180^o - (B + C) = 180^o - (45^o + 60^o) = 75^o

Áp dụng Định lý Sin, ta có:

\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 60^o}{\sin 75^o} ≈ \frac{8 \cdot 0.866}{0.966} ≈ 7.17cm

V. Luyện tập

Các em hãy tự giải thêm các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập để nắm vững kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác. Giaitoan.edu.vn sẽ cung cấp thêm các bài tập và lời giải chi tiết để các em luyện tập.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hệ thức lượng trong tam giác và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các em học tập tốt!