Bài 6. Vecto trong không gian

Bài 6. Vecto trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 6 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vecto trong không gian để giải quyết các bài toán cụ thể. Nội dung chính bao gồm các dạng bài tập về biểu diễn vecto, các phép toán trên vecto (cộng, trừ, nhân với một số), tính độ dài vecto, tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng của tích vô hướng để xác định góc giữa hai vecto, tính khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm và mặt phẳng.

I. Kiến thức cần nắm vững

1. Định nghĩa vecto trong không gian: Một vecto trong không gian được xác định bởi một điểm gốc và một điểm cuối. Vectơ được biểu diễn bằng một cặp điểm hoặc bằng tọa độ trong một hệ tọa độ vuông góc.
2. Các phép toán trên vecto:
   • Phép cộng vecto: Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
   • Phép trừ vecto: a - b = a + (-b).
   • Phép nhân vecto với một số: k.a (k là một số thực).
3. Tích vô hướng của hai vecto: a.b = |a||b|cos(θ), với θ là góc giữa hai vecto.
4. Ứng dụng của tích vô hướng:
   • Tính góc giữa hai vecto.
   • Kiểm tra tính vuông góc của hai vecto (a.b = 0).
   • Tính khoảng cách giữa hai điểm.

II. Các dạng bài tập thường gặp

1. Bài tập về biểu diễn vecto

Dạng bài tập này yêu cầu học sinh biểu diễn một vecto theo các vecto khác hoặc theo các tọa độ trong hệ tọa độ. Ví dụ: Cho A, B, C là ba điểm trong không gian. Hãy biểu diễn vecto AB theo các vecto AC và CB.

2. Bài tập về các phép toán trên vecto

Yêu cầu thực hiện các phép cộng, trừ, nhân vecto với một số. Ví dụ: Cho hai vecto a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.

3. Bài tập về tích vô hướng

Yêu cầu tính tích vô hướng của hai vecto và sử dụng tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vecto, tính khoảng cách. Ví dụ: Cho hai vecto a = (1; -1; 2) và b = (2; 0; -1). Tính a.b và góc giữa hai vecto.

4. Bài tập ứng dụng

Các bài tập ứng dụng thường kết hợp nhiều kiến thức về vecto để giải quyết các bài toán hình học không gian. Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Tính độ dài đường chéo AC' theo các cạnh của hình hộp.

III. Hướng dẫn giải bài tập

Khi giải các bài tập về vecto trong không gian, cần chú ý:

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của vecto.
• Sử dụng thành thạo các phép toán trên vecto.
• Hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích vô hướng.
• Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tính độ dài của vecto AB.

Giải: Vecto AB = (4-1; 5-2; 6-3) = (3; 3; 3). Độ dài của vecto AB là |AB| = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3.

Bài tập 2: Cho hai vecto a = (2; -1; 1) và b = (1; 0; -2). Tính cosin của góc giữa hai vecto.

Giải: a.b = (2)(1) + (-1)(0) + (1)(-2) = 2 - 0 - 2 = 0. Vậy cos(θ) = (a.b) / (|a||b|) = 0 / (√6 * √5) = 0. Suy ra góc giữa hai vecto bằng 90^o.

V. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về vecto trong không gian, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, các đề thi thử và trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.