Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương VII - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Chương VII trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và định lý liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, đường thẳng, mặt phẳng và các điều kiện để chúng vuông góc với nhau.

Các khái niệm trọng tâm

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
• Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc là có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P).
• Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nằm trong mỗi mặt phẳng.

Các định lý quan trọng

1. Định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
2. Định lý về hai mặt phẳng vuông góc.
3. Định lý về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
4. Định lý về góc giữa hai mặt phẳng.

Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh cần:

• Nắm vững các định nghĩa và định lý liên quan.
• Sử dụng các công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.
• Vận dụng các kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ vuông góc.
• Sử dụng phương pháp hình học không gian để trực quan hóa bài toán.

Ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC và SA ⊥ BD. Suy ra SC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCO. Ta có: tan(SCO) = SO/OC = a/(a√2) = 1/√2. Vậy SCO ≈ 35.26°.

Bài tập thực hành

Dưới đây là một số bài tập thực hành để bạn luyện tập:

• Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).
• Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính độ dài đoạn AB biết rằng khoảng cách từ A đến (Q) là 3 và khoảng cách từ B đến (P) là 4.
• Bài 3: Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD, biết rằng SA = a, AB = a, BC = a, CD = a, DA = a và SA ⊥ (ABCD).

Kết luận

Hy vọng rằng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!