Bài 7.47 trang 42 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này một cách hiệu quả.
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), gọi \(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), gọi \(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\) bằng
A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
C. .\(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(AB,CD\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SN.\)
Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên\(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SON) \Rightarrow CD \bot OH\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O;(SCD)} \right) = OH.\)
Tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) nên \(O{S^2} = S{D^2} - O{D^2}\)
Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow OH\)
Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = 2OH\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(AB,CD\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SN.\)
Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SON) \Rightarrow CD \bot OH\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O;(SCD)} \right) = OH.\)
Tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) nên \(O{S^2} = S{D^2} - O{D^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = 2OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Bài 7.47 trang 42 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để giải quyết các vấn đề liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng.
Trước khi đi vào giải bài, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Đề bài thường cung cấp một hàm số mô tả một quá trình nào đó, và yêu cầu chúng ta tìm một giá trị cụ thể của hàm số tại một thời điểm nhất định, hoặc tìm điều kiện để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Giả sử đề bài yêu cầu tìm vận tốc của một vật tại thời điểm t = 2 giây, biết rằng quãng đường vật đi được là hàm số s(t) = t2 + 3t + 1.
Giải:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Bài 7.47 trang 42 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.
