Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) v
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).
a) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
b) Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).
\({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA'\)
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\).
Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}\), suy ra \(BC = a\sqrt 7 \).
Do đó \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a\).
Vì tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AK = \frac{{A'H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).
b) Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) là \({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA' = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)
Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về đạo hàm và cách áp dụng đạo hàm để giải quyết các vấn đề liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng.
Trước khi đi vào giải bài, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ các yếu tố quan trọng. Đề bài thường yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, tìm cực trị của hàm số, hoặc giải một phương trình liên quan đến đạo hàm. Việc hiểu rõ yêu cầu của đề bài là bước đầu tiên để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Để giải bài 7.54 trang 43, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống:
(Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải, các công thức sử dụng, và các giải thích rõ ràng. Ví dụ:)
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 7.54, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa:
(Ví dụ minh họa sẽ được trình bày ở đây, bao gồm đề bài, lời giải, và các giải thích chi tiết.)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán ứng dụng thực tế bằng cách sử dụng đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi và trong quá trình học tập.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| y = c (c là hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sin x | y' = cos x |
| y = cos x | y' = -sin x |
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Chúc các em học tốt!
