A. Giới hạn của dãy số

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn vô cực (dương hoặc âm) nếu với mọi M > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có u_n > M (giới hạn vô cực dương) hoặc u_n < M (giới hạn vô cực âm).

2. Các dạng giới hạn thường gặp

Dãy số không đổi: lim_n→∞ c = c (với c là hằng số)
Dãy số có dạng phân số: Cần xét tử và mẫu. Nếu tử và mẫu đều có bậc cao nhất là n, thì giới hạn bằng tỷ số của các hệ số cao nhất.
Dãy số có căn thức: Cần xét các điều kiện để căn thức có nghĩa và áp dụng các quy tắc giới hạn.

3. Các định lý về giới hạn

Định lý 1: Nếu lim_n→∞ u_n = L và lim_n→∞ v_n = M thì:

lim_n→∞ (u_n + v_n) = L + M
lim_n→∞ (u_n - v_n) = L - M
lim_n→∞ (u_n * v_n) = L * M
lim_n→∞ (u_n / v_n) = L / M (với M ≠ 0)

Định lý 2: Nếu u_n ≤ v_n với mọi n đủ lớn và lim_n→∞ u_n = L, lim_n→∞ v_n = M thì L ≤ M.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3)

Giải: lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 - 3/n) = 2/1 = 2

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ √n

Giải: lim_n→∞ √n = +∞

5. Bài tập áp dụng

Tính lim_n→∞ (3n² + 2n - 1) / (n² + 5)
Tính lim_n→∞ (1 - 2/n)³
Chứng minh dãy số (u_n) = 1/n có giới hạn là 0.

6. Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn của dãy số, cần chú ý đến các dạng giới hạn đặc biệt và áp dụng đúng các định lý về giới hạn. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn và các tính chất của nó là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan.

Giaitoan.edu.vn hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn sẽ có thêm sự tự tin trong việc học tập và giải quyết các bài toán về A. Giới hạn của dãy số trong chương trình Toán 11 Nâng cao.

Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán nhé!