Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Cho dãy số (un)
Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)
(Vì \(\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\))
Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng \(u_n> 0, ∀n ≥ 1\).
Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)
Vậy (1) đúng với \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)
Khi đó \(\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)
\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) nên (1) đúng với mọi \(n\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các định lý:
+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\).
Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)
Mà \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) \( \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)
Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, các bài toán dạng này sẽ yêu cầu học sinh:
Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là y' = 3x2 - 6x.
Đạo hàm bậc hai của hàm số là y'' = 6x - 6.
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Ta xét dấu của y'' tại các điểm cực trị:
Ta xét dấu của y':
Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2).
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản và thực hành thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
