Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
\({u_n} = {{ - 2{n^3} + 3n - 2} \over {3n - 2}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho lũy thừa bậc cao nhất của n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle {u_n} = {{{n^3}\left( { - 2 + {3 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {{3 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}} \right)}} \) \(\displaystyle = {{ - 2 + {3 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}} \over {{3 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}}}\)
Vì \(\displaystyle \lim \left( { - 2 + {3 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^2}}}} \right) = - 2 < 0\)
Và \(\displaystyle \lim \left( {{3 \over {{n^2}}} - {2 \over {{n^3}}}} \right) = 0;\)
Nên \(\displaystyle \lim {u_n} = - \infty \)
\({u_n} = {{\root 3 \of {{n^6} - 7{n^3} - 5n + 8} } \over {n + 12}}\)
Lời giải chi tiết:
Chia tử và mẫu của phân thức cho n, ta được :
\({u_n} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt[3]{{{n^6} - 7{n^3} - 5n + 8}}}}{n}}}{{\dfrac{{n + 12}}{n}}} \) \(= \dfrac{{\sqrt[3]{{\dfrac{{{n^6} - 7{n^3} - 5n + 8}}{{{n^3}}}}}}}{{1 + \dfrac{{12}}{n}}} \) \(= \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} - 7 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{8}{{{n^3}}}}}}}{{1 + \dfrac{{12}}{n}}} \) \( = \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 - \dfrac{7}{{{n^3}}} - \dfrac{5}{{{n^5}}} + \dfrac{8}{{{n^6}}}} \right)}}}}{{1 + \dfrac{{12}}{n}}}\) \(= \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 - \dfrac{7}{{{n^3}}} - \dfrac{5}{{{n^5}}} + \dfrac{8}{{{n^6}}}}}}}{{1 + \dfrac{{12}}{n}}}\)
\(\eqalign{& \text{ Vì }\,\lim n\root 3 \of {1 - {7 \over {{n^3}}} - {5 \over {{n^5}}} + {8 \over n^6}} = + \infty \cr & \text{ và }\,\lim \left( {1 + {{12} \over n}} \right) = 1 > 0 \cr & \text{ nên }\,{{\mathop{\rm lim u}\nolimits} _n} = + \infty \cr} \)
Câu 12 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các bước sau:
Giả sử hàm số cho trong đề bài là: y = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: D = R
Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm điểm cực trị:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu y':
Vậy hàm số có cực đại tại x = 0, ycđ = 2 và cực tiểu tại x = 2, yct = -2
Bước 4: Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6
Bước 5: Xác định khoảng lồi và lõm:
y'' > 0 ⇔ 6x - 6 > 0 ⇔ x > 1 (hàm số lồi trên khoảng (1, +∞))
y'' < 0 ⇔ 6x - 6 < 0 ⇔ x < 1 (hàm số lõm trên khoảng (-∞, 1))
Bước 6: Tìm điểm uốn:
y'' = 0 ⇔ 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1
Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1, y = 0
Bước 7: Khoảng đồng biến và nghịch biến: (đã xét ở Bước 3)
Bước 8: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2
Khi giải bài toán này, cần lưu ý:
Câu 12 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
