Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm limun với
\({u_n} = {{{n^2} - 3n + 5} \over {2{n^2} - 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho lũy thừa bậc cao nhất của n và sử dụng giới hạn \(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& \lim{u_n} = \lim {{{n^2}\left( {1 - {3 \over n} + {5 \over {{n^2}}}} \right)} \over {{n^2}\left( {2 - {1 \over {{n^2}}}} \right)}} \cr &= \lim {{1 - {3 \over n} + {5 \over {{n^2}}}} \over {2 - {1 \over {{n^2}}}}} \cr & = {{\lim 1 - \lim {3 \over n} + \lim {5 \over {{n^2}}}} \over {\lim 2 - \lim {1 \over {{n^2}}}}}\cr & = {{1 - 0 + 0} \over {2 - 0}} = {1 \over 2} \cr} \)
\({u_n} = {{ - 2{n^2} + n + 2} \over {3{n^4} + 5}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \lim {u_n} = \lim {{{n^4}\left( {{{ - 2} \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {{ 2} \over {{n^4}}}} \right)} \over {{n^4}\left( {3 + {5 \over {{n^4}}}} \right)}} \) \(\displaystyle = \lim {{{{ - 2} \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {{ 2} \over {{n^4}}}} \over {3 + {5 \over {{n^4}}}}} ={{0+0+0}\over {3+0}}\) \( = {0 \over 3} = 0\)
\({u_n} = {{\sqrt {2{n^2} - n} } \over {1 - 3{n^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\sqrt {2{n^2} - n} }}{{1 - 3{n^2}}}\)
\(\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {2{n^2} - n} }}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{{1 - 3{n^2}}}{{{n^2}}}}} = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{2{n^2} - n}}{{{n^4}}}} }}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 3}}\\ = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{2}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} }}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 3}} = \dfrac{{\sqrt {0 - 0} }}{{0 - 3}} = 0\end{array}\)
\({u_n} = {{{4^n}} \over {{{2.3}^n} + {4^n}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu \(u_n\) cho \(4^n\).
Lời giải chi tiết:
Chia cả tử và mẫu \(u_n\) cho \(4^n\) ta được:
\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{4^n}}}{{{{2.3}^n} + {4^n}}}\\ = \lim \dfrac{{{4^n}}}{{{4^n}\left( {2.\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} + 1} \right)}}\\ = \lim \dfrac{1}{{2{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 1}} = \dfrac{1}{{2.0 + 1}} = 1\end{array}\)
Câu 6 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, các bài tập dạng này sẽ yêu cầu học sinh:
Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: y' = 3x2 - 6x.
Đạo hàm bậc hai của hàm số là: y'' = 6x - 6.
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu y' trên các khoảng xác định:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, yct = -2.
Dựa vào bảng xét dấu y', ta có thể kết luận:
Dựa vào các thông tin đã phân tích, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Câu 6 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và thực hành giải nhiều bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài tập Câu 6 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc các bạn học tập tốt!
