Câu 10 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Chi Tiết Câu 10 Trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 10 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.

Phân Tích Đề Bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, các bài tập dạng này sẽ yêu cầu học sinh:

• Xác định tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
• Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Xác Định Tập Xác Định

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Bước 2: Tính Đạo Hàm

Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: y' = 3x² - 6x.

Đạo hàm bậc hai của hàm số là: y'' = 6x - 6.

Bước 3: Tìm Điểm Cực Trị

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Tại x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại điểm (0, 2).

Tại x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).

Bước 4: Khảo Sát Tính Đơn Điệu

Xét dấu y':

• Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
• Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
• Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).

Bước 5: Vẽ Đồ Thị Hàm Số

Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2. Đồ thị hàm số có cực đại tại (0, 2) và cực tiểu tại (2, -2).

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý:

• Tính toán đạo hàm chính xác.
• Xác định đúng dấu của đạo hàm để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ứng Dụng Của Việc Khảo Sát Hàm Số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.
• Phân tích sự thay đổi của các đại lượng trong các bài toán vật lý, kinh tế, và kỹ thuật.

Tổng Kết

Câu 10 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc nắm vững các bước giải và lưu ý khi giải bài tập sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài kiểm tra.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.