Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 20 trong sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập trung vào một trong những kiến thức quan trọng nhất của đại số lớp 9: Định lí Viète. Định lí này thiết lập mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình bậc hai và các nghiệm của nó, mở ra một phương pháp giải quyết bài toán hiệu quả và tinh tế.

1. Nội dung chính của Định lí Viète

Cho phương trình bậc hai tổng quát: ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, thì:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

Định lí Viète không chỉ áp dụng cho phương trình bậc hai có nghiệm thực mà còn đúng với cả phương trình có nghiệm phức.

2. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là:

Kiểm tra nghiệm của phương trình: Nếu biết hai số x₁ và x₂, ta có thể kiểm tra xem chúng có phải là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 hay không bằng cách tính x₁ + x₂ và x₁ * x₂ rồi so sánh với -b/a và c/a.
Tìm nghiệm của phương trình: Nếu biết tổng và tích của hai nghiệm, ta có thể tìm ra hai nghiệm đó bằng cách giải hệ phương trình.
Xây dựng phương trình bậc hai: Nếu biết hai nghiệm x₁ và x₂, ta có thể xây dựng phương trình bậc hai có hai nghiệm đó bằng cách sử dụng công thức: x² - (x₁ + x₂)x + x₁ * x₂ = 0.
Giải các bài toán liên quan đến hệ số và nghiệm của phương trình: Định lí Viète giúp ta thiết lập mối liên hệ giữa các hệ số và nghiệm, từ đó giải quyết các bài toán phức tạp một cách dễ dàng hơn.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm.

Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo định lí Viète:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Ví dụ 2: Cho hai số 2 và 3. Hãy xây dựng phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3.

Ta có x₁ = 2 và x₂ = 3. Theo công thức:

x² - (2 + 3)x + 2 * 3 = 0

x² - 5x + 6 = 0

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về định lí Viète và ứng dụng của nó, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Cho phương trình 2x² + 7x - 9 = 0. Hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm.
Cho hai số -1 và 4. Hãy xây dựng phương trình bậc hai có hai nghiệm là -1 và 4.
Tìm giá trị của m để phương trình x² - (m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn x₁ + x₂ = 3.

5. Lời khuyên khi học tập

Để nắm vững định lí Viète và ứng dụng của nó, các em cần:

Hiểu rõ nội dung của định lí và các công thức liên quan.
Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau.
Kết hợp định lí Viète với các kiến thức khác về phương trình bậc hai để giải quyết các bài toán phức tạp.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!