Bài tập cuối chương 4

Bài tập cuối chương 4 - SGK Toán 12: Tổng quan

Chương 4 của SGK Toán 12 tập 2 xoay quanh hai khái niệm cốt lõi: nguyên hàm và tích phân. Nguyên hàm là phép toán ngược của phép vi phân, trong khi tích phân được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong và giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một kỹ năng quan trọng trong giải tích. Các công thức nguyên hàm cơ bản cần nắm vững bao gồm:

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
∫1/x dx = ln|x| + C
∫e^x dx = e^x + C
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C

Ngoài ra, cần nắm vững các tính chất của nguyên hàm như tính tuyến tính và nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số.

II. Tích phân

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] được ký hiệu là ∫_a^b f(x) dx và biểu thị diện tích giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b.

Các phương pháp tính tích phân bao gồm:

Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng khi tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du

III. Bài tập cuối chương 4 - SGK Toán 12: Phân loại và phương pháp giải

Bài tập cuối chương 4 thường bao gồm các dạng bài sau:

Tìm nguyên hàm: Yêu cầu tìm một hàm số có đạo hàm bằng hàm số cho trước.
Tính tích phân xác định: Yêu cầu tính diện tích dưới đường cong trong một khoảng xác định.
Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, quãng đường đi được, v.v.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Tính ∫(2x + 1) dx

Giải: ∫(2x + 1) dx = ∫2x dx + ∫1 dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Bài 2: Tính ∫₀¹ x² dx

Giải: ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3