Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\); b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\);
b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f(x)\) và trục hoành trên đoạn \([a,b]\) được tính bằng công thức tích phân:
\(A = \int_a^b | f(x) - 0|{\mkern 1mu} dx = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx\)
Nếu có hai đường cong \({y_1}(x)\) và \({y_2}(x)\), diện tích hình phẳng giữa hai đường này trên đoạn \([a,b]\) là:
\(A = \int_a^b | {y_1}(x) - {y_2}(x)|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết
a)
Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân:
\(A = \int_0^2 {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của \({2^x}\):
\(\int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\)
Do đó:
\(A = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right]_0^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = \frac{4}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\)
Vậy diện tích cần tìm là:
\(A = \frac{3}{{\ln 2}}\)
b)
Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm \({y_1}(x) = 12 - {x^2}\) và \({y_2}(x) = - x\) trên đoạn \([ - 3,4]\). Diện tích \(A\) là:
\(A = \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right|dx = } \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} + x} \right|dx} = \int_{ - 3}^4 {\left( {12 - {x^2} + x} \right)dx} \)
Tính nguyên hàm:
\(\int {(12 - {x^2} + x)} {\mkern 1mu} dx = 12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)
Thay cận \( - 3\) và \(4\):
\(A = \left[ {12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 3}^4 = \frac{{104}}{3} - \frac{{ - 45}}{2} = \frac{{343}}{6}\)
Vậy diện tích là:
\(A = \frac{{343}}{6}\).
Bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, hoặc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x3 + 3x2 - 2 trên đoạn [0; 3].
Bước 1: Yêu cầu của bài toán là tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [0; 3].
Bước 2: Hàm số đã được xây dựng: f(x) = -x3 + 3x2 - 2.
Bước 3: Tập xác định của hàm số là R, do đó trên đoạn [0; 3] hàm số cũng xác định.
Bước 4: Tính đạo hàm: f'(x) = -3x2 + 6x.
Bước 5: Giải phương trình f'(x) = 0: -3x2 + 6x = 0 => x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Bước 6: Xét dấu đạo hàm:
Bước 7: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên:
Bước 8: Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là 2, đạt được tại x = 2.
Ngoài bài tập 4.28, SGK Toán 12 tập 2 còn nhiều bài tập tương tự yêu cầu vận dụng kiến thức về đạo hàm. Các dạng bài tập này thường bao gồm:
Để giải quyết các bài tập này, các em cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và các ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo thêm các bài tập khác trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu luyện thi THPT Quốc gia. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín như giaitoan.edu.vn.
Khi giải bài tập, các em nên:
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
