Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tính các tích phân sau: a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\) b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\)
b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)
c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức cơ bản về tích phân:
- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\)
- \(\int {{e^x}} dx = {e^x}\);
- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)
- Các phép nhân đa thức, các hàm mũ, và lượng giác có thể cần sử dụng các phương pháp đơn giản hóa.
Lời giải chi tiết
a)
\(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {(3{x^2} + 10x + 3)} {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
\(\int 3 {x^2}{\mkern 1mu} dx = {x^3},\quad \int 1 0x{\mkern 1mu} dx = 5{x^2},\quad \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x\)
Vậy tích phân là:
\(\left[ {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right]_0^1 = 9\)
b)
\(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính từng tích phân:
\(\int {{3^{x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}}\)
\(\int 2 {e^x}{\mkern 1mu} dx = 2{e^x}\)
Tích phân là:
\(\left[ {\frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}} - 2{e^x}} \right]_{ - 5}^0 = \left( {\frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - 2{e^0}} \right) - \left( {\frac{{{3^{ - 4}}}}{{\ln 3}} - 2{e^{ - 5}}} \right)\)
c)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:
\(\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{(2{{\cos }^2}x - 1)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)
Ta tách thành hai phần:
\(I = 2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \left[ { - \cot x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} dx = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\cot 2x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)
Cuối cùng, kết quả của tích phân là:
\(I = 0\)
d)
\(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Sử dụng tích phân của hàm mũ:
\(\int {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\int {({6^x})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}\)
Tính tích phân:
\(\left[ {\frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}} \right]_1^2 = \frac{{{6^2}}}{{3\ln 6}} - \frac{6}{{3\ln 6}} = \frac{{12}}{{\ln 3}} - \frac{2}{{\ln 6}} = \frac{{10}}{{\ln 6}}\)
Bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ tiến hành giải bài tập theo các bước đã nêu:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị y = -2. Điểm uốn của hàm số là (1; 0).
Việc giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số mà còn rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán học một cách hiệu quả. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh có thể tiếp cận và giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học Toán 12 và các kỳ thi quan trọng.
Bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách thực hiện các bước giải bài tập một cách cẩn thận và chính xác, học sinh có thể nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
