Bài 4. Khoảng cách

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11: Tổng quan

Bài 4 trong chương VIII của sách giáo khoa Toán 11 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu khoảng cách trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, cung cấp nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao.

1. Khái niệm khoảng cách trong không gian

Khoảng cách trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trong không gian. Để tính khoảng cách, chúng ta sử dụng công thức dựa trên tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Descartes.

2. Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) trong không gian. Khoảng cách AB được tính theo công thức:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số:

{ x = x₁ + at y = y₁ + bt z = z₁ + ct }

Ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một điểm A thuộc Δ (chọn t = 0).
2. Tính vector AM = (x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁).
3. Tính vector chỉ phương của Δ: a = (a, b, c).
4. Tính tích có hướng của AM và a: AM x a.
5. Khoảng cách d = ||AM x a|| / ||a||

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0

Khoảng cách từ M đến (P) được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song hay không. Nếu không song song, khoảng cách bằng 0.
2. Nếu hai đường thẳng song song, chọn một điểm A thuộc Δ₁.
3. Tính khoảng cách từ A đến Δ₂ (sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng).

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải: AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t.

Giải: Chọn A(1, 2, 3) thuộc Δ. AM = (-1, -2, -3). a = (1, 1, 1). AM x a = (-1, 2, -1). ||AM x a|| = √6. ||a|| = √3. d = √6 / √3 = √2

7. Lưu ý quan trọng

• Nắm vững các công thức tính khoảng cách.
• Hiểu rõ các khái niệm liên quan đến hình học không gian.
• Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

8. Kết luận

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về khoảng cách trong không gian. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác.