Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2

Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân tại A, A’ cách đều A, B, C và AA’ = AB = 2a

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân tại A, A’ cách đều A, B, C và AA’ = AB = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết

Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 2

Gọi D là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC

\(\begin{array}{l}AD = \sqrt 2 a\\ \Rightarrow AG = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}a\end{array}\)

A’G vuông góc với (ABC) nên A’G vuông góc với AG

\(\begin{array}{l}A'G = \sqrt {AA{'^2} - A{G^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}a} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}a\\\end{array}\)

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng toán math. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Giải chi tiết

Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là gì và cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Các quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp.
Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Biết đạo hàm của các hàm số thường gặp như hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.
Ứng dụng đạo hàm: Hiểu cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu và điểm uốn của hàm số.

Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2)

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức, ta có: f'(x) = 3x^2 - 6x
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị. Trong trường hợp này, ta có: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xác định loại cực trị: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại cực trị tại các điểm đã tìm được. Ta có: f''(x) = 6x - 6. Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0. Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Kết luận: Hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là f(2) = -2.

Ví dụ minh họa khác: (Giả sử bài toán yêu cầu khảo sát hàm số y = x^4 - 4x^2 + 3)

Để khảo sát hàm số này, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất y': y' = 4x^3 - 8x
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 => 4x^3 - 8x = 0 => x = 0, x = √2, x = -√2
Tính đạo hàm cấp hai y'': y'' = 12x^2 - 8
Xác định loại cực trị:

Tại x = 0, y'' = -8 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 3
Tại x = √2, y'' = 16 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = √2, y(√2) = -1
Tại x = -√2, y'' = 16 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = -√2, y(-√2) = -1

Xác định khoảng đơn điệu:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, -√2) và (√2, +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-√2, √2)

Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 => 12x^2 - 8 = 0 => x = ±√(2/3)
Kết luận: Hàm số y = x^4 - 4x^2 + 3 có cực đại tại x = 0, cực tiểu tại x = √2 và x = -√2. Hàm số có điểm uốn tại x = √(2/3) và x = -√(2/3).

Lưu ý quan trọng:

Luôn kiểm tra lại kết quả tính đạo hàm và giải phương trình.
Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai một cách cẩn thận để xác định đúng loại cực trị.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả khảo sát.

Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!

Giaitoan.edu.vn sẽ tiếp tục cập nhật và cung cấp các lời giải bài tập Toán 11 một cách nhanh chóng và chính xác nhất. Hãy đồng hành cùng chúng tôi để chinh phục môn Toán một cách hiệu quả!