Chương 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm - SBT Toán 12 Cánh diều

Chương 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu các số đặc trưng thống kê dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Việc hiểu rõ các số đặc trưng này là vô cùng quan trọng trong việc phân tích và so sánh các tập dữ liệu khác nhau.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm

Trước khi đi sâu vào các số đặc trưng đo mức độ phân tán, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về mẫu số liệu ghép nhóm. Mẫu số liệu ghép nhóm là một cách trình bày dữ liệu, trong đó các giá trị được chia thành các khoảng (nhóm) và chỉ số đại diện cho mỗi khoảng được sử dụng. Ví dụ, thay vì liệt kê tất cả các điểm thi của học sinh, chúng ta có thể nhóm chúng thành các khoảng như 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10.

2. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Có nhiều số đặc trưng khác nhau để đo mức độ phân tán của một mẫu số liệu, trong đó phổ biến nhất là:

Phương sai (Variance): Phương sai đo lường mức độ biến động của các giá trị trong một tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Phương sai được tính bằng công thức:

S² = Σ(x_i - x̄)² / (n-1)

Trong đó:

S² là phương sai
x_i là giá trị của phần tử thứ i trong mẫu
x̄ là giá trị trung bình của mẫu
n là số lượng phần tử trong mẫu

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cung cấp một thước đo về mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc.

S = √S²

Khoảng biến thiên (Range): Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu.
Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR): IQR là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). Nó đo lường mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm.

3. Tính toán các số đặc trưng cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta không có giá trị chính xác của từng phần tử, mà chỉ có các khoảng và tần số của chúng. Do đó, công thức tính toán các số đặc trưng sẽ có một số điều chỉnh:

Giá trị đại diện: Thay vì sử dụng giá trị chính xác của từng phần tử, chúng ta sử dụng giá trị đại diện cho mỗi khoảng, thường là trung điểm của khoảng đó.
Công thức phương sai và độ lệch chuẩn: Các công thức sẽ được điều chỉnh để sử dụng giá trị đại diện và tần số của mỗi khoảng.

4. Ý nghĩa của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cung cấp thông tin quan trọng về sự biến động của dữ liệu. Ví dụ:

Phương sai và độ lệch chuẩn lớn: Cho thấy dữ liệu phân tán rộng, các giá trị khác nhau nhiều so với giá trị trung bình.
Phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ: Cho thấy dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình, các giá trị tương đối đồng đều.

5. Bài tập minh họa

Bài tập: Cho bảng số liệu sau:

Khoảng	Tần số (f)
[0-5)	10
[5-10)	15
[10-15)	20
[15-20)	5

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này.

Giải:

Tính giá trị đại diện cho mỗi khoảng: (0+5)/2 = 2.5, (5+10)/2 = 7.5, (10+15)/2 = 12.5, (15+20)/2 = 17.5
Tính giá trị trung bình: x̄ = (2.5*10 + 7.5*15 + 12.5*20 + 17.5*5) / (10+15+20+5) = 11.875
Tính phương sai: S² = [(2.5-11.875)²*10 + (7.5-11.875)²*15 + (12.5-11.875)²*20 + (17.5-11.875)²*5] / (40-1) = 32.29
Tính độ lệch chuẩn: S = √32.29 = 5.68

6. Kết luận

Chương 3 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp chúng ta phân tích và hiểu rõ hơn về dữ liệu trong nhiều lĩnh vực khác nhau.