Trắc nghiệm Bài 4: Hai hình đồng dạng Toán 8 Chân trời sáng tạo

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = 3\) nên tam giác A’B’C’ và tam giác ABC là đồng dạng phối cảnh với tỉ số vị tự là 3.

Do đó tam giác ABC và tam giác A’B’C’ là đồng dạng phối cảnh với tỉ số vị tự là \(\frac{1}{3}\).

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình H, H’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Do đó, cả A và B đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng

Vì hai hình chữ nhật A”B”C”D” và ABCD là hai hình đồng dạng phối cảnh và hình A”B”C”D” bằng hình A’B’C’D’ nên

+ Hình A’B’C’D’ đồng dạng với hình ABCD

+ Hình A”B”C”D” đồng dạng với hình ABCD

Do đó, cả A, B đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Các cặp hình đồng dạng là: Cặp hình 1 và cặp hình 2.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

+ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng.

Vì C là trung điểm của OA nên \(OC = \frac{1}{2}OA\)

Vì D là trung điểm của OB nên \(OD = \frac{1}{2}OB\)

Mà O là giao điểm của AC và BD nên cạnh CD là hình đồng dạng phối cảnh của cạnh AB với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{2}\), tâm phối cảnh là điểm O.

Do đó, cạnh CD là hình đồng dạng của cạnh AB với tỉ số \(k = \frac{1}{2}\)

Suy ra, cả A, B đều đúng.

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì \(\frac{5}{5} \ne \frac{9}{{7,5}}\) nên hình a và hình b không phải là hai hình đồng dạng

Vì \(\frac{5}{{2,5}} = \frac{9}{{4,5}}\) nên hình a và hình c là hai hình đồng dạng với nhau

Vì \(\frac{{12}}{9} \ne \frac{4}{5}\) nên hình a và hình d không phải là hai hình đồng dạng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Đường tròn (O; 6cm) đồng dạng với đường tròn (O; 3cm) theo tỉ số đồng dạng là: \(\frac{6}{3} = 2\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự):

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

+ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng.

Vì hình vuông A’B’C’D’ là hình vuông ABCD sau khi phóng to với \(k = 3\) nên cạnh của hình vuông A’B’C’D’ gấp 3 lần cạnh của hình vuông ABCD. Do đó, cạnh của hình vuông A’B’C’D’ là: \(9.3 = 27\left( {cm} \right)\)

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự):

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Hình thang ABCD và EFGH bằng nhau.

Vì các điểm A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD nên \(OA = 2OA',OB = 2OB',OC = 2OC',OD = 2OD'\).

Hình thang ABCD đồng dạng phối cảnh với hình thang A’B’C’D’.

Do đó, hình thang A’B’C’D và hình thang EFGH đồng dạng với nhau.

Vậy cả 3 khẳng định trên đều đúng

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với O là tâm đồng dạng phối cảnh nên \(\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}\) suy ra \( \Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\), do đó \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=3\)

suy ra \(A'B'=12;B'C'=21;C'A'=18\)

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với I là tâm đồng dạng phối cảnh nên \(\frac{IA''}{IA}=\frac{IB''}{IB}=\frac{IC''}{IC}\) suy ra \( \Delta A''B''C''\backsim \Delta ABC\), do đó \(\frac{A''B''}{AB}=\frac{B''C''}{BC}=\frac{C''A''}{CA}=3\)

suy ra \(A''B''=12;B''C''=21;C''A''=18\)

Do đó, \(A'B'=A''B''=21,B'C'=B''C''=21,C'A'=C''A''=18\)

suy ra \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{C''B''}{C'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=1\)

- Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H '

+ Hình H đồng dạng với hình H ’nếu hình H ’bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự):

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Ta có: \(HM \bot AB,AC \bot AB\) nên HM//AC

Tam giác ABC có: M là trung điểm của BC, HM//AC nên H là trung điểm của AB.

Do đó, \(\frac{{BH}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

Lại có: Mà là trung điểm của BC nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Mà đường thẳng AH và MC cùng đi qua điểm B.

Do đó, HM là hình đồng dạng phối cảnh của cạnh AC, tâm B, tỉ số \(\frac{1}{2}\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Trên các đoạn thẳng EF, EG, EH, ta lần lượt lấy các điểm F”, G”, H” sao cho \(\frac{EF''}{EF}=\frac{EG''}{EG}=\frac{EH''}{EH}=\frac{4}{5}.\) Theo định lý Thalès đảo ta có: F”G”//FG, G”H”//GH.

Mà \(\widehat{F''EH''}={{90}^{0}}\) nên tứ giác EF”G”H” là hình chữ nhật.

Mặt khác, ta có: \(\frac{EF''}{EF}=\frac{F''G''}{FG}=\frac{G''H''}{GH}=\frac{H''E}{HE}=\frac{4}{5}\) (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra \(EF''=F''G''=G''H''=H''E=8cm\) .

Do đó, tứ giác EF”G”H” là hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm.

Suy ra, hai hình vuông EF”G”H” và E’F’G’H’ bằng nhau

Vì \(\frac{EF''}{EF}=\frac{EG''}{EG}=\frac{EH''}{EH}=\frac{4}{5}\) nên hình vuông EF”G”H” đồng dạng phối cảnh với hình vuông EFGH hay hình vuông E’F’G’H’ đồng dạng phối cảnh với hình vuông EFGH.

Vậy hình vuông E’F’G’H’ đồng dạng với hình vuông EFGH.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Tam giác ABC có chu vi bằng 18cm nên \(AB + BC + CA = 18\)

Chu vi tam giác A’B’C’ là: \(P' = A'B' + A'C' + B'C'\)

Vì tam A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với O là tâm đồng dạng phối cảnh tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B' + A'C' + B'C'}}{{AB + AC + BC}} = \frac{{P'}}{{18}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow P' = 18:3 = 6\left( {cm} \right)\)

Vậy chu vi tam giác A’B’C’ bằng 6cm

- Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H '

+ Hình H đồng dạng với hình H ’nếu hình H ’bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì diện tích hình vuông A’B’C’D’ bằng \(64c{m^2}\) nên ta có: \(A'B{'^2} = 64 \Rightarrow A'B' = 8cm\)

Vì diện tích hình vuông ABCD là \(36c{m^2}\) nên ta có: \(A{B^2} = 36 \Rightarrow AB = 6cm\)

Vì hình vuông A’B’C’D’ là hình đồng dạng với vuông ABCD tỉ số đồng dạng k nên:

\(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

Vậy tỉ số đồng dạng là \(\frac{4}{3}\)

- Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H '

+ Hình H đồng dạng với hình H ’nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình tròn H có diện tích bằng \(113,04c{m^2}\) nên bán kính của hình tròn là: \({R^2} = \frac{{113,04}}{{3,14}} = 36 \Rightarrow R = 6cm\)

Vì hình tròn H’ là hình đồng dạng với hình H có tỉ số đồng dạng bằng \(\frac{1}{2}\) nên bán kính hình tròn H’ là: \(R' = \frac{R}{2} = 3\left( {cm} \right)\)

Diện tích hình tròn H’ là: \({3^2}.3,14 = 28,26c{m^2}\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì đoạn thẳng MN là hình đồng dạng phối cảnh của đoạn thẳng BC tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{4}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow AB = 4AM,AC = 4AN\)

Diện tích tam giác AMN vuông tại A là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{1}{2}AB.AC = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}.4AM.4AN = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}AM.AN = 3\left( {c{m^2}} \right)\)

Do đó, diện tích tam giác AMN bằng \(3c{m^2}\).

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì H thuộc AB và HK là hình đồng dạng phối cảnh của cạnh AC, với tâm đồng dạng phối cảnh là điểm B nên \(\frac{{HK}}{{AC}} = \frac{{BK}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}}\)

Mà \(CK = \frac{2}{3}BC \Rightarrow \frac{{BK}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{KH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, điểm H cần tìm thuộc đoạn thẳng AB sao cho \(BH = \frac{1}{3}AB\).

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{12}}{6} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 8.2 = 16\left( {cm} \right)\)

Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 12.16 = 192\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=6cm,B'C'=8cm,A'C'=10cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{10}^{2}}={{8}^{2}}+{{6}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=6x,A''C''=10x,B''C''=8x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.6x.8x=96\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\) (do \(x>0\))

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2\)

Mà \(AB = \frac{3}{4}BC \Rightarrow A'B' = \frac{3}{4}B'C'.\)

Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'B'C'} = {90^0}\)

Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\) (1)

Thay \(A'B' = \frac{3}{4}B'C'\) vào (1) ta có:

\({\left( {\frac{3}{4}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {10^2}\)

\(\frac{{25}}{{16}}B'C{'^2} = 100\)

\(B'C{'^2} = 64\) nên \(B'C' = 8cm\)

Do đó, \(A'B' = 8.\frac{3}{4} = 6\left( {cm} \right)\)

Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 6.8 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Chu vi tấm thảm ABC là: \(AB + BC + AC = 400\)

Chu vi tấm thảm A’B’C’ là: \(P' = A'B' + B'C' + A'C'\)

Vì tấm thảm ABC đồng dạng phối cảnh với tấm thảm A’B’C’ tâm O, tỉ số \(\frac{2}{3}\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{2}{3}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{{400}}{{P'}} = \frac{2}{3}\) nên \(P' = 400.\frac{3}{2} = 600\left( {cm} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{4}} \right)\) và các đường thẳng BE và MQ cắt nhau tại A nên BM là hình đồng dạng phối cảnh với EQ, tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{4}\)

Vì \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AP}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) và các đường thẳng DC và NP cắt nhau tại A nên CN là hình đồng dạng phối cảnh với DP, tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{2}{3}\)

Trong tam giác AQE có: \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{4}} \right)\) nên BM//EQ.

Áp dụng hệ quả định lý Thalès vào tam giác AQE có:

\(\frac{{BM}}{{EQ}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BM}}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow BM = 1\left( m \right)\)

Trong tam giác AQE có: \(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)\) nên DP//EQ.

Theo hệ quả định lý Thalès vào tam giác AQE có:

\(\frac{{PD}}{{EQ}} = \frac{{AP}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{DP}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow DP = 3\left( m \right)\)

Trong tam giác ADP có: \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AP}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên CN//DP.

Theo hệ quả định lý Thalès vào tam giác APD có:

\(\frac{{CN}}{{DP}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{CN}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow CN = 2\left( m \right)\)

Vậy có 2 khẳng định đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{24}}{{12}} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 16.2 = 32\left( {cm} \right)\)

Diện tích bức tranh A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 24.32 = 768\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=24cm,B'C'=32cm,A'C'=40cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{40}^{2}}={{32}^{2}}+{{24}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=24x,A''C''=40x,B''C''=32x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.24x.32x=1536\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\)(do \(x>0\))

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2\)

Mà \(AB = \frac{5}{{12}}BC \Rightarrow A'B' = \frac{5}{{12}}B'C'.\)

Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'B'C'} = {90^0}\)

Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\) (1)

Thay \(A'B' = \frac{5}{{12}}B'C'\) vào (1) ta có:

\({\left( {\frac{5}{{12}}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {130^2}\)

\(\frac{{169}}{{144}}B'C{'^2} = 16900\)

\(B'C{'^2} = 14400\) nên \(B'C' = 120cm\)

Do đó, \(A'B' = \frac{5}{{12}}.120 = 50\left( {cm} \right)\)

Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 50.120 = 6000\left( {c{m^2}} \right)\)

Các hình a, b, c đều thể hiện hình đồng dạng, chỉ có hình d là không thể hiện hình đồng dạng.

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Ta có: \(k = \frac{{4,8}}{{8,4}} = \frac{4}{7}\) nên biển báo M là hình đồng dạng của biển báo P khi thu nhỏ với tỉ số \(k = \frac{4}{7}\)

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Các cặp hình đồng dạng là: Hình a và hình c, hình b và hình d.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng

Hình H là hình đồng dạng phối cảnh của hình H ₀

Mà hình H ’ bằng với hình H ₀ nên hình H đồng dạng của hình H ₀

Vì hình H là hình đồng dạng phối cảnh của hình H ₀ nên H là hình đồng dạng của hình H ₀

Vậy cả ba khẳng định trên đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì \(\frac{{4,5}}{3} = \frac{{3,9}}{{2,6}}\left( { = \frac{3}{2}} \right)\) nên hình b đồng dạng với hình a với tỉ số \(\frac{3}{2}\)

Vì \(\frac{{4,5}}{3} \ne \frac{{3,9}}{2}\) nên hai hình b và c không đồng dạng với nhau

Vì \(\frac{3}{3} \ne \frac{2}{{2,6}}\) nên hai hình a và c không đồng dạng với nhau

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì rằng bức tranh trong hình b là bức tranh trong hình a sau khi thu nhỏ với \(k = \frac{2}{3}\) nên kích thước ở hình b là: \(4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) và \(6.\frac{2}{3} = 4\)

Vậy kích thước của bức tranh trong hình b là: \(\frac{8}{3} \times 4\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA’, OB’, OC’, OD’ nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{{OD'}}{{OD}} = 2\)

Lại có các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cùng đi qua điểm O.

Do đó, bức tranh A’B’C’D’ là hình đồng dạng phối cảnh của bức tranh ABCD, tâm đồng dạng phối cảnh là điểm O, tỉ số 2

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Cây 1 đồng dạng với cây 2 theo tỉ số là \(x = \frac{3}{2}\)

Để cây 2 đồng dạng với cây 3 theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{3}{2}\) thì \(? = 2:\frac{3}{2} = \frac{4}{3}\left( m \right)\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Độ dài cạnh của tem thư 1 là: \(\sqrt {144} = 12\left( {cm} \right)\)

Độ dài cạnh của tem thư 2 là: \(40:4 = 10\left( {cm} \right)\)

Do đó, tem thư 1 là hình đồng dạng với tem thư 2 với tỉ số: \(\frac{{12}}{{10}} = \frac{6}{5}\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì B, C, A, D lần lượt là trung điểm của OF, OG, OE, OH nên \(\frac{{OB}}{{FO}} = \frac{{OA}}{{OE}} = \frac{{OD}}{{OH}} = \frac{{OC}}{{OG}} = \frac{1}{2}\) và các đường thẳng AD, EH, GC, FB cùng đi qua điểm O nên hình ABCD là hình đồng dạng phối cảnh với hình EFGH tâm O tỉ số \(\frac{1}{2}\).

Do đó, \(FG = 2BC,FE = 2AB\)

Diện tích bức tranh ABCD là: \(AB.BC = 100\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích bức tranh EFGH là: \(FE.FG = 2AB.2BC = 4AB.BC = 4.100 = 400\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì mặt đĩa H có diện tích bằng \(113,04c{m^2}\) nên bán kính của mặt đĩa H là: \({R^2} = \frac{{113,04}}{{3,14}} = 36 \Rightarrow R = 6cm\)

Vì mặt đĩa H’ là hình đồng dạng với mặt đĩa H có tỉ số đồng dạng bằng 2 nên bán kính mặt đĩa H’ là: \(R' = 2R = 12\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt đĩa H’ là: \({12^2}.3,14 = 452,16\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = 3\) nên tam giác A’B’C’ và tam giác ABC là đồng dạng phối cảnh với tỉ số vị tự là 3.

Do đó tam giác ABC và tam giác A’B’C’ là đồng dạng phối cảnh với tỉ số vị tự là \(\frac{1}{3}\).

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình H, H’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Do đó, cả A và B đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng

Vì hai hình chữ nhật A”B”C”D” và ABCD là hai hình đồng dạng phối cảnh và hình A”B”C”D” bằng hình A’B’C’D’ nên

+ Hình A’B’C’D’ đồng dạng với hình ABCD

+ Hình A”B”C”D” đồng dạng với hình ABCD

Do đó, cả A, B đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Các cặp hình đồng dạng là: Cặp hình 1 và cặp hình 2.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

+ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng.

Vì C là trung điểm của OA nên \(OC = \frac{1}{2}OA\)

Vì D là trung điểm của OB nên \(OD = \frac{1}{2}OB\)

Mà O là giao điểm của AC và BD nên cạnh CD là hình đồng dạng phối cảnh của cạnh AB với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{2}\), tâm phối cảnh là điểm O.

Do đó, cạnh CD là hình đồng dạng của cạnh AB với tỉ số \(k = \frac{1}{2}\)

Suy ra, cả A, B đều đúng.

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì \(\frac{5}{5} \ne \frac{9}{{7,5}}\) nên hình a và hình b không phải là hai hình đồng dạng

Vì \(\frac{5}{{2,5}} = \frac{9}{{4,5}}\) nên hình a và hình c là hai hình đồng dạng với nhau

Vì \(\frac{{12}}{9} \ne \frac{4}{5}\) nên hình a và hình d không phải là hai hình đồng dạng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Đường tròn (O; 6cm) đồng dạng với đường tròn (O; 3cm) theo tỉ số đồng dạng là: \(\frac{6}{3} = 2\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự):

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

+ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng.

Vì hình vuông A’B’C’D’ là hình vuông ABCD sau khi phóng to với \(k = 3\) nên cạnh của hình vuông A’B’C’D’ gấp 3 lần cạnh của hình vuông ABCD. Do đó, cạnh của hình vuông A’B’C’D’ là: \(9.3 = 27\left( {cm} \right)\)

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự):

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Hình thang ABCD và EFGH bằng nhau.

Vì các điểm A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD nên \(OA = 2OA',OB = 2OB',OC = 2OC',OD = 2OD'\).

Hình thang ABCD đồng dạng phối cảnh với hình thang A’B’C’D’.

Do đó, hình thang A’B’C’D và hình thang EFGH đồng dạng với nhau.

Vậy cả 3 khẳng định trên đều đúng

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với O là tâm đồng dạng phối cảnh nên \(\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}\) suy ra \( \Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\), do đó \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=3\)

suy ra \(A'B'=12;B'C'=21;C'A'=18\)

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với I là tâm đồng dạng phối cảnh nên \(\frac{IA''}{IA}=\frac{IB''}{IB}=\frac{IC''}{IC}\) suy ra \( \Delta A''B''C''\backsim \Delta ABC\), do đó \(\frac{A''B''}{AB}=\frac{B''C''}{BC}=\frac{C''A''}{CA}=3\)

suy ra \(A''B''=12;B''C''=21;C''A''=18\)

Do đó, \(A'B'=A''B''=21,B'C'=B''C''=21,C'A'=C''A''=18\)

suy ra \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{C''B''}{C'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=1\)

- Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H '

+ Hình H đồng dạng với hình H ’nếu hình H ’bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Sử dụng kiến thức về hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự):

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Ta có: \(HM \bot AB,AC \bot AB\) nên HM//AC

Tam giác ABC có: M là trung điểm của BC, HM//AC nên H là trung điểm của AB.

Do đó, \(\frac{{BH}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

Lại có: Mà là trung điểm của BC nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Mà đường thẳng AH và MC cùng đi qua điểm B.

Do đó, HM là hình đồng dạng phối cảnh của cạnh AC, tâm B, tỉ số \(\frac{1}{2}\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Trên các đoạn thẳng EF, EG, EH, ta lần lượt lấy các điểm F”, G”, H” sao cho \(\frac{EF''}{EF}=\frac{EG''}{EG}=\frac{EH''}{EH}=\frac{4}{5}.\) Theo định lý Thalès đảo ta có: F”G”//FG, G”H”//GH.

Mà \(\widehat{F''EH''}={{90}^{0}}\) nên tứ giác EF”G”H” là hình chữ nhật.

Mặt khác, ta có: \(\frac{EF''}{EF}=\frac{F''G''}{FG}=\frac{G''H''}{GH}=\frac{H''E}{HE}=\frac{4}{5}\) (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra \(EF''=F''G''=G''H''=H''E=8cm\) .

Do đó, tứ giác EF”G”H” là hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm.

Suy ra, hai hình vuông EF”G”H” và E’F’G’H’ bằng nhau

Vì \(\frac{EF''}{EF}=\frac{EG''}{EG}=\frac{EH''}{EH}=\frac{4}{5}\) nên hình vuông EF”G”H” đồng dạng phối cảnh với hình vuông EFGH hay hình vuông E’F’G’H’ đồng dạng phối cảnh với hình vuông EFGH.

Vậy hình vuông E’F’G’H’ đồng dạng với hình vuông EFGH.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Tam giác ABC có chu vi bằng 18cm nên \(AB + BC + CA = 18\)

Chu vi tam giác A’B’C’ là: \(P' = A'B' + A'C' + B'C'\)

Vì tam A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với O là tâm đồng dạng phối cảnh tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B' + A'C' + B'C'}}{{AB + AC + BC}} = \frac{{P'}}{{18}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow P' = 18:3 = 6\left( {cm} \right)\)

Vậy chu vi tam giác A’B’C’ bằng 6cm

- Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H '

+ Hình H đồng dạng với hình H ’nếu hình H ’bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì diện tích hình vuông A’B’C’D’ bằng \(64c{m^2}\) nên ta có: \(A'B{'^2} = 64 \Rightarrow A'B' = 8cm\)

Vì diện tích hình vuông ABCD là \(36c{m^2}\) nên ta có: \(A{B^2} = 36 \Rightarrow AB = 6cm\)

Vì hình vuông A’B’C’D’ là hình đồng dạng với vuông ABCD tỉ số đồng dạng k nên:

\(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

Vậy tỉ số đồng dạng là \(\frac{4}{3}\)

- Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H '

+ Hình H đồng dạng với hình H ’nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình tròn H có diện tích bằng \(113,04c{m^2}\) nên bán kính của hình tròn là: \({R^2} = \frac{{113,04}}{{3,14}} = 36 \Rightarrow R = 6cm\)

Vì hình tròn H’ là hình đồng dạng với hình H có tỉ số đồng dạng bằng \(\frac{1}{2}\) nên bán kính hình tròn H’ là: \(R' = \frac{R}{2} = 3\left( {cm} \right)\)

Diện tích hình tròn H’ là: \({3^2}.3,14 = 28,26c{m^2}\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì đoạn thẳng MN là hình đồng dạng phối cảnh của đoạn thẳng BC tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{4}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow AB = 4AM,AC = 4AN\)

Diện tích tam giác AMN vuông tại A là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{1}{2}AB.AC = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}.4AM.4AN = 48 \Rightarrow \frac{1}{2}AM.AN = 3\left( {c{m^2}} \right)\)

Do đó, diện tích tam giác AMN bằng \(3c{m^2}\).

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì H thuộc AB và HK là hình đồng dạng phối cảnh của cạnh AC, với tâm đồng dạng phối cảnh là điểm B nên \(\frac{{HK}}{{AC}} = \frac{{BK}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}}\)

Mà \(CK = \frac{2}{3}BC \Rightarrow \frac{{BK}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{KH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, điểm H cần tìm thuộc đoạn thẳng AB sao cho \(BH = \frac{1}{3}AB\).

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{12}}{6} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 8.2 = 16\left( {cm} \right)\)

Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 12.16 = 192\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) (hay \(\frac{{OM'}}{{OM}} = k\)) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=6cm,B'C'=8cm,A'C'=10cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{10}^{2}}={{8}^{2}}+{{6}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=6x,A''C''=10x,B''C''=8x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.6x.8x=96\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\) (do \(x>0\))

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2\)

Mà \(AB = \frac{3}{4}BC \Rightarrow A'B' = \frac{3}{4}B'C'.\)

Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'B'C'} = {90^0}\)

Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\) (1)

Thay \(A'B' = \frac{3}{4}B'C'\) vào (1) ta có:

\({\left( {\frac{3}{4}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {10^2}\)

\(\frac{{25}}{{16}}B'C{'^2} = 100\)

\(B'C{'^2} = 64\) nên \(B'C' = 8cm\)

Do đó, \(A'B' = 8.\frac{3}{4} = 6\left( {cm} \right)\)

Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 6.8 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Chu vi tấm thảm ABC là: \(AB + BC + AC = 400\)

Chu vi tấm thảm A’B’C’ là: \(P' = A'B' + B'C' + A'C'\)

Vì tấm thảm ABC đồng dạng phối cảnh với tấm thảm A’B’C’ tâm O, tỉ số \(\frac{2}{3}\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{2}{3}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{{400}}{{P'}} = \frac{2}{3}\) nên \(P' = 400.\frac{3}{2} = 600\left( {cm} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{4}} \right)\) và các đường thẳng BE và MQ cắt nhau tại A nên BM là hình đồng dạng phối cảnh với EQ, tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{4}\)

Vì \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AP}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) và các đường thẳng DC và NP cắt nhau tại A nên CN là hình đồng dạng phối cảnh với DP, tâm A, tỉ số đồng dạng \(\frac{2}{3}\)

Trong tam giác AQE có: \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{4}} \right)\) nên BM//EQ.

Áp dụng hệ quả định lý Thalès vào tam giác AQE có:

\(\frac{{BM}}{{EQ}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BM}}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow BM = 1\left( m \right)\)

Trong tam giác AQE có: \(\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AP}}{{AQ}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)\) nên DP//EQ.

Theo hệ quả định lý Thalès vào tam giác AQE có:

\(\frac{{PD}}{{EQ}} = \frac{{AP}}{{AQ}} \Rightarrow \frac{{DP}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow DP = 3\left( m \right)\)

Trong tam giác ADP có: \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AN}}{{AP}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên CN//DP.

Theo hệ quả định lý Thalès vào tam giác APD có:

\(\frac{{CN}}{{DP}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{CN}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow CN = 2\left( m \right)\)

Vậy có 2 khẳng định đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD với tỉ số đồng dạng k nên \(k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{24}}{{12}} = 2\)

Ta có: \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = 2 \Rightarrow B'C' = 16.2 = 32\left( {cm} \right)\)

Diện tích bức tranh A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 24.32 = 768\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là 2 nên \(\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC\Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=2\)

\(\Rightarrow A'B'=24cm,B'C'=32cm,A'C'=40cm\)

Vì \(A'C{{'}^{2}}=A'B{{'}^{2}}+B'C{{'}^{2}}\left( {{40}^{2}}={{32}^{2}}+{{24}^{2}} \right)\) nên tam giác A’B’C’ vuông tại B’

Vì tam giác A”B”C” là hình đồng dạng của tam giác A’B’C’, O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số vị tự là x nên \(\Delta A''B''C''\backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\widehat{A''B''C''}=\widehat{A'B'C'}=90\) và \(\frac{A''B''}{A'B'}=\frac{A''C''}{A'C'}=\frac{B''C''}{B'C'}=x\Rightarrow A''B''=24x,A''C''=40x,B''C''=32x\)

Vì tam giác A”B”C” vuông tại B” nên diện tích tam giác A”B”C” là:

\({{S}_{A''B''C''}}=\frac{1}{2}B''A''.B''C''\Rightarrow \frac{1}{2}.24x.32x=1536\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=2\)(do \(x>0\))

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2\)

Mà \(AB = \frac{5}{{12}}BC \Rightarrow A'B' = \frac{5}{{12}}B'C'.\)

Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'B'C'} = {90^0}\)

Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\) (1)

Thay \(A'B' = \frac{5}{{12}}B'C'\) vào (1) ta có:

\({\left( {\frac{5}{{12}}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {130^2}\)

\(\frac{{169}}{{144}}B'C{'^2} = 16900\)

\(B'C{'^2} = 14400\) nên \(B'C' = 120cm\)

Do đó, \(A'B' = \frac{5}{{12}}.120 = 50\left( {cm} \right)\)

Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 50.120 = 6000\left( {c{m^2}} \right)\)

Các hình a, b, c đều thể hiện hình đồng dạng, chỉ có hình d là không thể hiện hình đồng dạng.

+ Hai hình H, H ’được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Ta có: \(k = \frac{{4,8}}{{8,4}} = \frac{4}{7}\) nên biển báo M là hình đồng dạng của biển báo P khi thu nhỏ với tỉ số \(k = \frac{4}{7}\)

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Các cặp hình đồng dạng là: Hình a và hình c, hình b và hình d.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

- Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng

Hình H là hình đồng dạng phối cảnh của hình H ₀

Mà hình H ’ bằng với hình H ₀ nên hình H đồng dạng của hình H ₀

Vì hình H là hình đồng dạng phối cảnh của hình H ₀ nên H là hình đồng dạng của hình H ₀

Vậy cả ba khẳng định trên đều đúng

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì \(\frac{{4,5}}{3} = \frac{{3,9}}{{2,6}}\left( { = \frac{3}{2}} \right)\) nên hình b đồng dạng với hình a với tỉ số \(\frac{3}{2}\)

Vì \(\frac{{4,5}}{3} \ne \frac{{3,9}}{2}\) nên hai hình b và c không đồng dạng với nhau

Vì \(\frac{3}{3} \ne \frac{2}{{2,6}}\) nên hai hình a và c không đồng dạng với nhau

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì rằng bức tranh trong hình b là bức tranh trong hình a sau khi thu nhỏ với \(k = \frac{2}{3}\) nên kích thước ở hình b là: \(4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) và \(6.\frac{2}{3} = 4\)

Vậy kích thước của bức tranh trong hình b là: \(\frac{8}{3} \times 4\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA’, OB’, OC’, OD’ nên \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{{OD'}}{{OD}} = 2\)

Lại có các đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cùng đi qua điểm O.

Do đó, bức tranh A’B’C’D’ là hình đồng dạng phối cảnh của bức tranh ABCD, tâm đồng dạng phối cảnh là điểm O, tỉ số 2

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Cây 1 đồng dạng với cây 2 theo tỉ số là \(x = \frac{3}{2}\)

Để cây 2 đồng dạng với cây 3 theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{3}{2}\) thì \(? = 2:\frac{3}{2} = \frac{4}{3}\left( m \right)\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Độ dài cạnh của tem thư 1 là: \(\sqrt {144} = 12\left( {cm} \right)\)

Độ dài cạnh của tem thư 2 là: \(40:4 = 10\left( {cm} \right)\)

Do đó, tem thư 1 là hình đồng dạng với tem thư 2 với tỉ số: \(\frac{{12}}{{10}} = \frac{6}{5}\)

+ Nếu với mỗi điểm M thuộc hình \(\mathcal{K}\), lấy điểm M’ thuộc tia OM sao cho \(OM' = k.OM\) thì các điểm M’ đó tạo thành hình \(\mathcal{K}'\). Ta nói hình \(\mathcal{K}'\) đồng dạng phối cảnh với hình \(\mathcal{K}\) theo tỉ số đồng dạng (vị tự) k. Khi đó, điểm O là tâm phối cảnh.

+ Nếu \(k > 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình phóng to của hình \(\mathcal{K}\), nếu \(k < 1\) thì ta nói \(\mathcal{K}'\) là hình thu nhỏ của hình \(\mathcal{K}\)

Vì B, C, A, D lần lượt là trung điểm của OF, OG, OE, OH nên \(\frac{{OB}}{{FO}} = \frac{{OA}}{{OE}} = \frac{{OD}}{{OH}} = \frac{{OC}}{{OG}} = \frac{1}{2}\) và các đường thẳng AD, EH, GC, FB cùng đi qua điểm O nên hình ABCD là hình đồng dạng phối cảnh với hình EFGH tâm O tỉ số \(\frac{1}{2}\).

Do đó, \(FG = 2BC,FE = 2AB\)

Diện tích bức tranh ABCD là: \(AB.BC = 100\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích bức tranh EFGH là: \(FE.FG = 2AB.2BC = 4AB.BC = 4.100 = 400\left( {c{m^2}} \right)\)

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng hình H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Vì mặt đĩa H có diện tích bằng \(113,04c{m^2}\) nên bán kính của mặt đĩa H là: \({R^2} = \frac{{113,04}}{{3,14}} = 36 \Rightarrow R = 6cm\)

Vì mặt đĩa H’ là hình đồng dạng với mặt đĩa H có tỉ số đồng dạng bằng 2 nên bán kính mặt đĩa H’ là: \(R' = 2R = 12\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt đĩa H’ là: \({12^2}.3,14 = 452,16\left( {c{m^2}} \right)\)