Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng - SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Bài 12 thuộc chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, sách Toán 9 tập 1, Kết nối tri thức, là một bài học quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác vuông. Bài học này xây dựng trên nền tảng kiến thức về tam giác vuông, định lý Pitago và các tỉ số lượng giác. Việc nắm vững các hệ thức lượng này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

I. Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có các hệ thức lượng sau:

Định lý Pitago: AB² + AC² = BC²
Hệ thức giữa cạnh và đường cao: AH² = BH.CH
Hệ thức giữa các cạnh và đường cao: AB² = BH.BC và AC² = CH.BC
Hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông: 1/AH² = 1/AB² + 1/AC²

Trong đó:

AB, AC là các cạnh góc vuông
BC là cạnh huyền
AH là đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC
BH, CH là các đoạn thẳng tạo bởi đường cao AH trên cạnh huyền BC

II. Ứng dụng của các hệ thức lượng

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông có nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính độ dài các cạnh, đường cao, góc trong tam giác vuông. Dưới đây là một số ví dụ:

Tính độ dài cạnh: Nếu biết độ dài hai cạnh của tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lý Pitago để tính độ dài cạnh còn lại.
Tính độ dài đường cao: Nếu biết độ dài các cạnh góc vuông, ta có thể sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao để tính độ dài đường cao.
Tính góc: Sử dụng các tỉ số lượng giác (sin, cos, tan) để tính góc khi biết độ dài các cạnh.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC và AH (với AH là đường cao kẻ từ A xuống BC).

Giải:

Áp dụng định lý Pitago, ta có: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 => BC = 5cm
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao, ta có: AH.BC = AB.AC => AH = (AB.AC)/BC = (3.4)/5 = 2.4cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, BH = 4cm. Tính CH và AC.

Giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao, ta có: AH² = BH.CH => CH = AH²/BH = 6²/4 = 9cm
Áp dụng hệ thức giữa các cạnh và đường cao, ta có: AC² = CH.BC = CH.(BH + CH) = 9.(4 + 9) = 117 => AC = √117 = 3√13 cm

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm. Tính BC và AH.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 8cm, BH = 6cm. Tính CH và AB.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 13cm, AB = 5cm. Tính AC và AH.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về các hệ thức lượng trong tam giác vuông và ứng dụng của chúng. Chúc các em học tập tốt!