Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 28 trong sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu hai loại đường tròn đặc biệt liên quan đến tam giác: đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. Việc hiểu rõ tính chất và cách xác định hai đường tròn này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác.

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác được gọi là bán kính ngoại tiếp, ký hiệu là R.

Để tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp, ta có thể sử dụng các công thức sau:

• Công thức tính bán kính R: R = (abc) / (4S), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác và S là diện tích của tam giác.
• Cách tìm tâm O: Xác định giao điểm của hai đường trung trực bất kỳ của tam giác.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là bán kính nội tiếp, ký hiệu là r.

Để tìm tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp, ta có thể sử dụng các công thức sau:

• Công thức tính bán kính r: r = 2S / (a + b + c), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác và S là diện tích của tam giác.
• Cách tìm tâm I: Xác định giao điểm của hai đường phân giác bất kỳ của tam giác.

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Có một số mối quan hệ quan trọng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Một trong số đó là bất đẳng thức Euler, khẳng định rằng:

OI² = R(R - 2r), trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp, R là bán kính ngoại tiếp và r là bán kính nội tiếp.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

1. Tính diện tích tam giác ABC: Vì 3² + 4² = 5², tam giác ABC là tam giác vuông tại B. Do đó, diện tích tam giác ABC là S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * 3 * 4 = 6 cm².
2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R: R = (abc) / (4S) = (3 * 4 * 5) / (4 * 6) = 2.5 cm.
3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r: r = 2S / (a + b + c) = (2 * 6) / (3 + 4 + 5) = 1 cm.

5. Lưu ý khi giải bài tập

• Luôn vẽ hình để hình dung rõ bài toán.
• Sử dụng các công thức một cách chính xác.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán hình học.