Bài 6. Vectơ trong không gian

Bài 6 trong chương trình Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu vectơ trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của chương trình, đặt nền móng cho các kiến thức hình học không gian phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập liên quan đến vectơ trong không gian.

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối. Vectơ cũng có thể được biểu diễn bằng tọa độ trong một hệ tọa độ Descartes ba chiều (Oxyz).

2. Các phép toán vectơ trong không gian

Các phép toán cơ bản trên vectơ trong không gian bao gồm:

Phép cộng vectơ:AB + CD được thực hiện bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
Phép trừ vectơ:AB - CD tương đương với AB + DC.
Phép nhân vectơ với một số thực:k * AB làm thay đổi độ dài của vectơ theo hệ số k. Nếu k > 0, vectơ mới cùng hướng với AB; nếu k < 0, vectơ mới ngược hướng với AB.

3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính bằng công thức:

a.b = |a| * |b| * cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Nếu a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) thì a.b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.

4. Ứng dụng của tích vô hướng

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học không gian, bao gồm:

Tính góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a.b) / (|a| * |b|)
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Nếu a.b = 0 thì hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là ((a.b) / |b|^2) * b.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (-2, 1, 0). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.

Giải:a.b = (1)*(-2) + (2)*(1) + (3)*(0) = -2 + 2 + 0 = 0. Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Tìm góc giữa hai vectơ a = (1, 0, 0) và b = (0, 1, 0).

Giải:a.b = (1)*(0) + (0)*(1) + (0)*(0) = 0. |a| = 1, |b| = 1. cos(θ) = 0 / (1*1) = 0. Vậy θ = 90°.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về vectơ trong không gian, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu trực tuyến khác để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về vectơ trong không gian. Chúc các em học tập tốt!