B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Giới hạn của hàm số

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm:

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a (nhưng không bằng a). Định nghĩa này dựa trên khái niệm lân cận và sự hội tụ của các giá trị hàm số.

2. Các tính chất của giới hạn:

Giới hạn của tổng: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
Giới hạn của tích: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
Giới hạn của thương: lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)
Giới hạn của hằng số: lim_x→a c = c (c là hằng số)

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu:

f(x₀) xác định.
lim_x→x₀ f(x) tồn tại.
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

2. Hàm số liên tục trên một khoảng:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

III. Các dạng giới hạn thường gặp

1. Giới hạn vô cùng:

lim_x→∞ f(x) hoặc lim_x→-∞ f(x) biểu thị xu hướng của hàm số khi x tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm.

2. Giới hạn dạng 0/0:

Khi gặp giới hạn có dạng 0/0, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn.
Sử dụng quy tắc L'Hôpital (nếu hàm số thỏa mãn điều kiện).

IV. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Giải: f(1) = 1² = 1. lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1. lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1. Vì lim_x→1 f(x) = 1 = f(1), nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.