Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã học để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}}\)
Lời giải chi tiết:
Dạng \({0 \over 0}\) ta phân tích tử và mẫu ra thừa số :
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^3} - 8} \over {{x^2} - 4}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + 2x + 4} \over {x + 2}} = 3 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = - \infty \cr} \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0\) \(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ +}} \left( {x + 3} \right) = 0;\) \({\left( {x + 3} \right)} > 0,\forall x > - 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2{x^2} + 5x - 3} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{2x - 1} \over {x + 3}} = + \infty \cr} \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0\) \(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0;\) \(x + 3 < 0, \forall x<-3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}\)
Phương pháp giải:
Nhân cả tử và mẫu với biểu thức \(\sqrt {{x^3} + 1} + 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \over {{x^2} + x}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^3} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3}} \over {x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} = 0 \cr} \)
Bài 38 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
(Nội dung đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Để xác định xem các điểm x = 0 và x = 2 là điểm cực đại hay cực tiểu, ta lập bảng biến thiên của hàm số:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể giải thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập. Ngoài ra, bạn có thể tìm hiểu thêm về ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật.
Câu 38 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và các lưu ý quan trọng sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong môn học.
