Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} \)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt[3]{{\frac{{\frac{{2{x^5} + {x^3} - 1}}{{{x^5}}}}}{{\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^3} + x}}{{{x^3}}}}}}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^5}}}} \over {\left( {2 - {1 \over {{x^2}}}} \right)\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}}} \) \(\sqrt[3]{{\frac{{2 + 0 - 0}}{{\left( {2 - 0} \right)\left( {1 + 0} \right)}}}}\) \(= 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2\left| x \right| + 3}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2x + 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}\cr & =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 - {3 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}= 2 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
\({x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\,\text{ hoặc }\,x \ge 0\)
Với mọi \(x ≤ -1\), \(x \ne - {3 \over 2}\)
\({{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \) \( = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 2x} }}{{2x + 3}}\) \(= {{\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - x\sqrt {1+ {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} \) \(= {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \) \( =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }{{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\) \(= \frac{{ - 1 + 2}}{{2 + 0}}= {1 \over 2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số vào trong dấu căn, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^4}}}}}{{\frac{{2{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^4}}}}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {2 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}}}} \cr & = \sqrt {\frac{{0 + 0 + 0}}{{2 + 0 + 0}}} = 0 \cr} \)
Câu 32 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định. Tập xác định của hàm số là R (tất cả các số thực).
Bước 2: Đạo hàm.
f'(x) = 3x2 - 6x
f''(x) = 6x - 6
Bước 3: Điểm cực trị.
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 hoặc x = 2
Kiểm tra đạo hàm bậc hai:
f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại.
f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến.
f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 => Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
f'(x) < 0 khi 0 < x < 2 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Bước 5: Vẽ đồ thị. Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý:
Kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, như:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết Câu 32 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài toán tương tự.
