Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 10} \over {9 - 3{x^3}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 10} \over {9 - 3{x^3}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} + x - 10}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{9 - 3{x^3}}}{{{x^3}}}}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{2 \over x} + {1 \over {{x^2}}} - {{10} \over {{x^3}}}} \over {{9 \over {{x^3}}} - 3}} \) \(= \frac{{0 + 0 - 0}}{{0 - 3}}\) \(= 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} } \over {3\left| x \right| - 17}}\)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số x trên tử ra ngoài dấu căn, chia cả tử và mẫu cho x.
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x ≠ 0\), ta có :
\({{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} } \over {3\left| x \right| - 17}}\) \( = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {2 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} \right)} }}{{\left| x \right|\left( {3 - \frac{{17}}{{\left| x \right|}}} \right)}}\) \( = {{\left| x \right|\sqrt {2 - {7 \over x} + {{12} \over {{x^2}}}} } \over {\left| x \right|\left( {3 - {{17} \over {\left| x \right|}}} \right)}} = {{\sqrt {2 - {7 \over x} + {{12} \over {{x^2}}}} } \over {3 - {{17} \over {\left| x \right|}}}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} } \over {3\left| x \right| - 17}} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)
Câu 39 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu chúng ta thực hiện các bước khảo sát hàm số như sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 2. Đây là các điểm cực trị của hàm số.
Ta xét dấu của đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định:
Tại x = 0, hàm số đạt cực đại và giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Dựa vào các thông tin đã phân tích, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số sẽ có dạng một đường cong đi qua các điểm cực trị và thể hiện khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý các điểm sau:
Kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 39 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
