Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Tìm các giới hạn sau :

LG a

     \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}}\)

    Lời giải chi tiết:

    \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x}{{{x^2}\left( {1 - {5 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^2}\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x.{{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = + \infty \cr & \text{vì}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \,\text{và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = 1 > 0 \cr} \)

    Cách khác:

    Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

    LG b

      \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}\)

      Lời giải chi tiết:

      \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right]\end{array}\)

      Ta có

      \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}} = \frac{1}{{ - 2}} < 0\end{array}\)

      Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right) = + \infty \)

      Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}= + \infty \)

      Cách khác:

      Với mọi \(x < 0\), ta có \({{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = {{{x^2}\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {1 - 2x}} = {{\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}}}\)

      Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} = 1,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}} \right) = 0\,\text{ và }\,{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x} > 0\) với mọi \(x < 0\)

      Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = + \infty \)

      Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

      Giải Chi Tiết Câu 36 Trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

      Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.

      Phân Tích Đề Bài

      Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu:

      • Xác định tập xác định của hàm số.
      • Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
      • Tìm các điểm cực trị của hàm số.
      • Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
      • Vẽ đồ thị hàm số.

      Phương Pháp Giải

      Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các bước sau:

      1. Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số. Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số có nghĩa.
      2. Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số.
      3. Bước 3: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, kiểm tra dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định loại điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
      4. Bước 4: Tính đạo hàm bậc hai. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
      5. Bước 5: Xác định khoảng lồi và lõm. Giải bất phương trình đạo hàm bậc hai lớn hơn 0 để tìm khoảng lồi và giải bất phương trình đạo hàm bậc hai nhỏ hơn 0 để tìm khoảng lõm.
      6. Bước 6: Xác định điểm uốn. Giải phương trình đạo hàm bậc hai bằng 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai để xác định điểm uốn.
      7. Bước 7: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến. Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
      8. Bước 8: Vẽ đồ thị hàm số. Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.

      Ví Dụ Minh Họa

      Giả sử hàm số được cho là: y = x3 - 3x2 + 2

      Bước 1: Tập xác định: D = R

      Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x2 - 6x

      Bước 3: Tìm điểm cực trị: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

      - Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm => x = 0 là điểm cực đại. y(0) = 2

      - Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương => x = 2 là điểm cực tiểu. y(2) = -2

      Bước 4: Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6

      Bước 5: Xác định khoảng lồi và lõm:

      - y'' > 0 => 6x - 6 > 0 => x > 1 (khoảng lồi)

      - y'' < 0 => 6x - 6 < 0 => x < 1 (khoảng lõm)

      Bước 6: Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1. y(1) = 0. Vậy điểm uốn là (1, 0)

      Bước 7: Khoảng đồng biến và nghịch biến:

      - y' > 0 => 3x2 - 6x > 0 => x < 0 hoặc x > 2 (đồng biến)

      - y' < 0 => 3x2 - 6x < 0 => 0 < x < 2 (nghịch biến)

      Lưu Ý Quan Trọng

      Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm sau:

      • Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
      • Tính đạo hàm chính xác và cẩn thận.
      • Phân tích dấu của đạo hàm để xác định các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.
      • Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và rõ ràng.

      Kết Luận

      Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về khảo sát hàm số. Bằng cách áp dụng các phương pháp giải và lưu ý các điểm quan trọng, bạn có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.

      Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11