Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SGK Toán 12: Tổng quan và lý thuyết

Bài 1 trong chương 5 Toán 12 tập 2 tập trung vào việc xây dựng và hiểu rõ phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm, định lý và công thức liên quan.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), thì mọi vectơ a nằm trong (P) đều thỏa mãn n.a = 0.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) và đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Hoặc có thể viết dưới dạng:

Ax + By + Cz + D = 0, với D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀

3. Các dạng phương trình khác của mặt phẳng

• Phương trình tham số của mặt phẳng: Nếu mặt phẳng (P) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có hai vectơ không cùng phương u = (a₁; b₁; c₁) và v = (a₂; b₂; c₂) nằm trong mặt phẳng, thì phương trình tham số của (P) là:

• x = x₀ + ta₁ + sa₂

  y = y₀ + tb₁ + sb₂

  z = z₀ + tc₁ + sc₂

Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2; -1; 1).

Giải: Áp dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta có:

2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0

⇔ 2x - y + z - 3 = 0

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0 với đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t.

Giải: Thay phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P), ta được:

(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 6 = 0

⇔ 2t = 0

⇔ t = 0

Thay t = 0 vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được giao điểm I(1; 2; 3).

Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến như giaitoan.edu.vn. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Các dạng bài tập thường gặp

1. Lập phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.
2. Lập phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng.
3. Xác định giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng.
4. Tìm góc giữa hai mặt phẳng.
5. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!