Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\). b) Tính chiều cao của hình hộp.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\).
b) Tính chiều cao của hình hộp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy (ABCD), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình các mặt phẳng:
- Mặt phẳng \((ABCD)\): Xét các điểm \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)\), ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1,1 - 0,2 - 1) = (1,1,1)\)
\(\overrightarrow {AD} = (1 - 1, - 1 - 0,1 - 1) = (0, - 1,0)\)
Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 1);1 \cdot 0 - 1 \cdot 0;1 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 0) = (1;0; - 1)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là \(x - z = 0\).
- Mặt phẳng \((A'B'C'D')\):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng \((A'B'C'D')\) cũng là \(\overrightarrow n = (1;0; - 1)\).
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(1(x - 4) + 0(y - 5) - 1(z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((A'B'C'D')\) là \(x - z - 9 = 0\).
- Mặt phẳng \((ADDA')\):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {OD'} \to \overrightarrow {OD'} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {AB} = (4 - 1;5 - 1; - 5 - 1) = (3;4; - 6)\)
Ta có điểm \(D = (3;4; - 6)\)
\(\overrightarrow {AD'} = (3 - 1;4 - 0; - 6 - 1) = (2;4; - 7)\)
\(\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)
Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (4 \cdot 0 - ( - 7) \cdot ( - 1);( - 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0;2 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 0) = ( - 7;0; - 2)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 7(x - 1) + 0(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Rightarrow - 7x - 2z + 9 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ADDA')\) là \(x - z = 0\).
b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|1.1 - 1.1 - 9|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\) là \(\frac{9}{{\sqrt 2 }}\).
Bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Thông thường, các bài tập về số phức thường yêu cầu chúng ta:
(Giả sử đề bài là: Tìm số phức z biết |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1)
Giải:
Để hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập về số phức, chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa sau:
Ví dụ: Tìm số phức z biết |z + 1| = 2 và z có phần ảo bằng 3.
Giải:
Tương tự như bài tập 5.11, chúng ta đặt z = x + yi, thay vào phương trình đã cho và giải để tìm x và y.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự sau:
Bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về số phức. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức và áp dụng các phương pháp giải phù hợp. Hy vọng rằng, với hướng dẫn chi tiết và lời giải trên, các em học sinh đã có thể tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự.
Chúc các em học tập tốt!
