Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(S( - 3;2;6)\), \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;4)\), \(C(7;7;5)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD). b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(S( - 3;2;6)\), \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;4)\), \(C(7;7;5)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD).
b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2}),C({x_3},{y_3},{z_3})\), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(S({x_0},{y_0},{z_0})\) đến mặt phẳng chứa đáy ABCD, sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
.\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Viết phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) qua ba điểm \(A(1;1;1),B(2;3;4),C(7;7;5)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - 1;3 - 1;4 - 1) = (1;2;3)\\\overrightarrow {AC} = (7 - 1;7 - 1;5 - 1) = (6;6;4)\end{array}\)
Tìm vector pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = \left( {2.4 - 3.6;\,\,3.6 - 1.4;\,\,1.6 - 2.6} \right) = \left( { - 10;14; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng: \( - 10(x - 1) + 14(y - 1) - 6(z - 1) = 0\), suy ra:
\( - 10x + 14y - 6z + 2 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là: \( - 5x + 7y - 3z + 1 = 0\).
Vì ABCD là hình bình hành nên:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \to \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {AB} = (7 - 1;\,7 - 2;5 - 3) = (6;5;2)\)
Viết phương trình mặt phẳng \((SCD)\) qua các điểm \(S( - 3;2;6),C(7;7;5),D(6;5;2)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SC} = (7 + 3;7 - 2;5 - 6) = (10;5; - 1)\\\overrightarrow {SD} = (6 + 3;5 - 2;2 - 6) = (9;3; - 4)\end{array}\)
Tìm vector pháp tuyến \(\vec n' = \overrightarrow {SC} \times \overrightarrow {SD} \):
\(\vec n' = \left( {5.( - 4) - ( - 1).3;\,( - 1).9 - 10.( - 4);\,10.3 - 5.9} \right) = ( - 17;31; - 15)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng: \( - 17(x + 3) + 31(y - 2) - 15(z - 6) = 0\), suy ra:
\(17x - 31y + 15z + 23 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((SCD)\) là: \(17x - 31y + 15z + 23 = 0\).
Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
\(d = \frac{{| - 5.( - 3) + 7.(2) - 3(6) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 5)}^2} + {7^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{|12|}}{{\sqrt {25 + 49 + 9} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {83} }}\)
Vậy chiều cao của hình chóp S.ABCD là \(\frac{{12}}{{\sqrt {83} }}\).
Bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và cuối cùng là vẽ đồ thị hàm số.
Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
(Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước tính toán, giải thích rõ ràng và kết luận. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu khảo sát hàm số y = x^3 - 3x + 2, lời giải sẽ bao gồm các bước sau:)
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | NB | CĐ | CĐ | NB |
Ngoài bài tập 5.10, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Các dạng bài tập này có thể bao gồm:
Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, và phương pháp khảo sát hàm số. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau cũng rất quan trọng để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập 5.10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
