Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;4; - 3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\) b) \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\) c) \((Oxy):z = 0\)
Đề bài
Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;4; - 3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\)
b) \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\)
c) \((Oxy):z = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Khoảng cách từ một điểm \(A({x_0},{y_0},{z_0})\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính theo công thức:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Trong đó:
- \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách.
- A, B, C là hệ số trong phương trình mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a) Tính khoảng cách từ \(A(2,4, - 3)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 9 = 0\).
\({d_\alpha } = \frac{{|2(2) - 2(4) + ( - 3) - 9|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{|4 - 8 - 3 - 9|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{| - 16|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{16}}{3}\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\frac{{16}}{3}\).
b) Tính khoảng cách từ \(A(2,4, - 3)\) đến mặt phẳng \((\beta ):12y - 5z + 5 = 0\).
\({d_\beta } = \frac{{|12(4) - 5( - 3) + 5|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{{|48 + 15 + 5|}}{{\sqrt {144 + 25} }} = \frac{{68}}{{\sqrt {169} }} = \frac{{68}}{{13}}\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((\beta )\) là \(\frac{{68}}{{13}}\).
c) Tính khoảng cách từ \(A(2,4, - 3)\) đến mặt phẳng \((Oxy):z = 0\).
\({d_{Oxy}} = \frac{{|1 \cdot ( - 3) + 0|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{| - 3|}}{1} = 3\)
Vậy khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là \(3\).
Bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế và kỹ thuật. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và điểm uốn của hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này giúp chúng ta lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tránh những sai sót không đáng có. Thông thường, bài tập 5.9 sẽ yêu cầu chúng ta tìm một giá trị tối ưu nào đó, chẳng hạn như chi phí sản xuất tối thiểu, lợi nhuận tối đa, hoặc sản lượng tối ưu.
Sau khi đã phân tích đề bài, chúng ta có thể bắt đầu áp dụng kiến thức về đạo hàm để giải bài toán. Đầu tiên, chúng ta cần xây dựng một hàm số mô tả mối quan hệ giữa các biến số trong bài toán. Sau đó, chúng ta tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm cực trị của hàm số. Cuối cùng, chúng ta kiểm tra các điểm cực trị để tìm ra giá trị tối ưu mà bài toán yêu cầu.
Giả sử bài tập 5.9 yêu cầu chúng ta tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để đạt được lợi nhuận tối đa. Gọi x là số lượng sản phẩm sản xuất, và P(x) là hàm lợi nhuận. Chúng ta có thể viết hàm lợi nhuận như sau:
P(x) = R(x) - C(x)
Trong đó R(x) là hàm doanh thu và C(x) là hàm chi phí. Để tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để đạt được lợi nhuận tối đa, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận P'(x) và giải phương trình P'(x) = 0. Nghiệm của phương trình này sẽ cho chúng ta các điểm cực trị của hàm lợi nhuận. Sau đó, chúng ta kiểm tra các điểm cực trị để tìm ra giá trị x mà tại đó hàm lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
Kiến thức về đạo hàm không chỉ được ứng dụng trong việc giải các bài tập trong SGK Toán 12, mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như kinh tế, kỹ thuật, vật lý, và hóa học. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả và sáng tạo.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài giảng trực tuyến hoặc tham gia các khóa học luyện thi để được hướng dẫn chi tiết và giải đáp thắc mắc.
Bài tập 5.9 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản về đạo hàm và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, các em có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. |
| Điểm cực trị | Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. |
| Ứng dụng của đạo hàm | Tìm cực trị, điểm uốn, và giải quyết các bài toán tối ưu. |
