Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\).
b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\):
- Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {BC} = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD} = (4,3,5)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = ( - 1, - 2,2)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(x + 2y - 2z - 3 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {FD} \to \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OF} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {BC} = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\)
- Xét các điểm \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF} = ( - 9;3; - 9)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AF} = (30;45; - 15)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \((DEF)\):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EF} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {OE} \to \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {AB} = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\)
- Xét các điểm \(D(1;2;1)\),
\(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {DE} = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF} = ( - 8;0; - 4)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {DE} \times \overrightarrow {DF} = (0; - 60;0)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow - y + 2 = 0\)
b)
Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là:
\(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\).
Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là:
\(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).
Bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học về số phức. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Bài tập 5.12 thường yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán trên số phức, tìm module của số phức, hoặc giải các phương trình liên quan đến số phức. Dưới đây là một ví dụ về dạng bài tập thường gặp:
Ví dụ: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 1 - i. Tính:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc và công thức về phép toán trên số phức:
Ngoài các phép toán cơ bản, bài tập 5.12 còn có thể yêu cầu học sinh giải các phương trình bậc hai với hệ số phức, tìm nghiệm của phương trình, hoặc chứng minh các đẳng thức liên quan đến số phức. Để giải các bài tập này, chúng ta cần:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về số phức, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tham gia các khóa học toán online tại giaitoan.edu.vn để được hướng dẫn và giải đáp thắc mắc bởi các giáo viên giàu kinh nghiệm.
Bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về số phức và các phép toán liên quan. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, các em có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
