Bài tập cuối chương 5

Bài tập cuối chương 5 - SGK Toán 12: Phương pháp tọa độ trong không gian - Giải chi tiết

Chương 5 trong sách giáo khoa Toán 12 tập 2 tập trung vào phương pháp tọa độ trong không gian, một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán hình học trong không gian ba chiều. Bài tập cuối chương là cơ hội để học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong chương này:

I. Các khái niệm cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

• Hệ tọa độ Oxyz: Gồm ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz và gốc tọa độ O.
• Tọa độ điểm: Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi bộ ba số (x, y, z) gọi là tọa độ của điểm đó.
• Vector: Một đoạn thẳng có hướng, được biểu diễn bằng bộ ba số (x, y, z) gọi là tọa độ của vector.
• Các phép toán vector: Cộng, trừ, nhân với một số thực.
• Tích vô hướng: Một phép toán giữa hai vector, cho ta một số thực.
• Tích có hướng: Một phép toán giữa hai vector, cho ta một vector vuông góc với cả hai vector ban đầu.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian có nhiều dạng khác nhau:

• Phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, với (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là vector chỉ phương của đường thẳng.
• Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c
• Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng: Kết hợp phương trình đường thẳng với phương trình mặt phẳng.

III. Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng trong không gian có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0, với (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần biết:

• Một điểm thuộc mặt phẳng.
• Vector pháp tuyến của mặt phẳng.

IV. Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và mặt phẳng

Có ba trường hợp xảy ra:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng cách giải hệ phương trình.

V. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vector chỉ phương (2, -1, 1).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t.

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + t và mặt phẳng x + y + z = 6.

Giải: Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, ta được: (1 + t) + (2 - t) + (3 + t) = 6 => t + 6 = 6 => t = 0. Vậy giao điểm là (1, 2, 3).

VII. Lời khuyên khi giải bài tập

• Nắm vững các khái niệm cơ bản và công thức.
• Vẽ hình để hình dung bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
• Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng.

Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong Bài tập cuối chương 5 - SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tốt!