Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp. b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD. c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.
Đề bài
Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp.
b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Phương trình mặt phẳng có dạng:
\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)
Trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng (ví dụ: điểm \(B(1,0,6)\)), và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.
b) Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng (BCD).
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(d = \frac{{|A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
c) Để mặt phẳng chứa AB và song song với CD, ta cần tìm một phương trình mặt phẳng sao cho:
1. Mặt phẳng chứa AB, tức là \(\overrightarrow {AB} \) là một véc-tơ trong mặt phẳng.
2. Mặt phẳng song song với CD, tức là điểm C và D đều không thuộc mặt phẳng và song song vectơ tạo bởi hai điểm này song song với \(\overrightarrow {AB} \).
Lời giải chi tiết
a)
Tính hai véc-tơ trong mặt phẳng (BCD):
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 1;2 - 0; - 1 - 6) = ( - 1;2; - 7)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = (1 - 1;4 - 0;0 - 6) = (0;4; - 6)\)
Véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \((BCD)\) là tích có hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = (2.( - 6) - 4.( - 7);\,\,\, - 7.0 - ( - 1).( - 6);\,\,\,( - 1).4 - 2.0) = (16; - 6; - 4)\)
Phương trình mặt phẳng (BCD):
\(16(x - 1) - 6(y - 0) - 4(z - 6) = 0\)
\(16x - 16 - 6y - 4z + 24 = 0\)
\(16x - 6y - 4z + 8 = 0\)
Thay điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD):
\(16.( - 2) - 6.6 - 4.3 + 8 = - 72 \ne 0\)
Vậy điểm A không thuộc phương trình mặt phẳng (BCD) nên A.BCD là một hình chóp.
b)
Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng (BCD).
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD):
\(d = \frac{{|16.( - 2) - 6.6 - 4.3 + 8|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}\)
\(d = \frac{{| - 72|}}{{\sqrt {308} }} = \frac{{72}}{{2\sqrt {77} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\)
c)
Tính \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - ( - 2);0 - 6;6 - 3) = (3; - 6;3)\)
\(\overrightarrow {CD} = D - C = (1 - 0;4 - 2;0 - ( - 1)) = (1;2;1)\)
Mặt phẳng này chứa \(\overrightarrow {AB} \) và song song với \(\overrightarrow {CD} \), do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \):
\(\vec n = (( - 6).1 - 3.2;3.1 - 3.1;3.2 - ( - 6).1) = ( - 12;0;12)\)
Phương trình mặt phẳng \((a)\) là:
\( - 12(x - 1) + 0(y - 0) + 12(z - 6) = 0\)
\( - 12x + 12z = 60\)
\(x - z = - 5\)
Bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán về tối ưu hóa. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này bao gồm việc xác định hàm số cần tối ưu hóa, các điều kiện ràng buộc, và khoảng giá trị của biến số. Việc phân tích đề bài một cách cẩn thận sẽ giúp học sinh tránh được những sai sót không đáng có và tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Giả sử bài tập 5.34 yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 trên khoảng [0, 5].
Các bài toán tối ưu hóa có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật, bao gồm kinh tế, kỹ thuật, vật lý, và sinh học. Ví dụ, trong kinh tế, bài toán tối ưu hóa có thể được sử dụng để tìm ra mức sản lượng tối ưu để đạt được lợi nhuận cao nhất. Trong kỹ thuật, bài toán tối ưu hóa có thể được sử dụng để thiết kế các cấu trúc có độ bền cao nhất với chi phí thấp nhất.
Để hiểu rõ hơn về các khái niệm và phương pháp giải bài toán tối ưu hóa, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
