Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là (vec a = left( { - 1;2; - 3} right)) và (vec b = left( {3;0;5} right)). Phương trình của mặt phẳng (left( alpha right)) là
Đề bài
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\vec b = \left( {3;0;5} \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là
A. \(5x - 2y - 3z - 21 = 0\)
B. \( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\)
C. \(10x - 4y - 6z + 21 = 0\)
D. \(5x - 2y - 3z + 21\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giả sử mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(M({x_0},{y_0},{z_0})\) và có hai vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1},{a_2},{a_3})\) và \(\vec b = ({b_1},{b_2},{b_3})\). Khi đó:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\):
- Tìm tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) để có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \vec a \times \vec b\).
- Công thức tích có hướng là:
\(\vec n = \vec a \times \vec b = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)
2. Viết phương trình mặt phẳng:
- Gọi \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
- Thay tọa độ điểm \(M({x_0},{y_0},{z_0})\) vào phương trình trên để hoàn tất phương trình mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\):
- Tính tích có hướng \(\vec n = \vec a \times \vec b\):
\(\vec n = \vec a \times \vec b = (2 \cdot 5 - ( - 3) \cdot 0;( - 3) \cdot 3 - ( - 1) \cdot 5;( - 1) \cdot 0 - 2 \cdot 3) = (10; - 4; - 6)\)
- Vậy, vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng là \((10; - 4; - 6)\).
* Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\):
- Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng:
\(10(x - 0) - 4(y - 0) - 6(z + 1) = 0\)
\(10x - 4y - 6z - 6 = 0\)
\(5x - 2y - 3z - 3 = 0\)
Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:
\( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\)
Chọn B
Bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán điển hình trong chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Trước khi đi vào giải bài toán cụ thể, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Bài toán 5.46 thường yêu cầu chúng ta:
Để minh họa, giả sử bài toán 5.46 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1 và xác định các điểm cực trị của hàm số.
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Để tìm các điểm cực trị, chúng ta cần giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x1 = (6 + √(36 - 24)) / 6 = 1 + √3/3
x2 = (6 - √(36 - 24)) / 6 = 1 - √3/3
Để xác định loại điểm cực trị, chúng ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):
f''(x) = 6x - 6
f''(x1) = 6(1 + √3/3) - 6 = 2√3 > 0, vậy x1 là điểm cực tiểu.
f''(x2) = 6(1 - √3/3) - 6 = -2√3 < 0, vậy x2 là điểm cực đại.
Sau khi nắm vững phương pháp giải bài tập 5.46, các em có thể áp dụng để giải quyết các bài tập tương tự với các hàm số khác nhau. Ngoài ra, kiến thức về đạo hàm còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,...
Bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
