Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho mặt phẳng ((alpha )): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ((alpha ))? A. x – 3y + 3z – 7 = 0 B. 3x – 3y + z – 7 = 0 C. x + 2y – z – 8 = 0 D. x – 2y + z + 8 = 0
Đề bài
Cho mặt phẳng \((\alpha )\): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với
mặt phẳng \((\alpha )\)?
A. x – 3y + 3z – 7 = 0
B. 3x – 3y + z – 7 = 0
C. x + 2y – z – 8 = 0
D. x – 2y + z + 8 = 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai mặt phẳng \({P_1}\) và \({P_2}\) vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0: \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)
Lời giải chi tiết
* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha :2x + y - 3z + 8 = 0\). Vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2,1, - 3)\).
* Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn:
- Mặt phẳng \(A:x - 3y + 3z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = (1, - 3,3)\).
- Mặt phẳng \(B:3x - 3y + z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} = (3, - 3,1)\).
- Mặt phẳng \(C:x + 2y - z - 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} = (1,2, - 1)\).
- Mặt phẳng \(D:x - 2y + z + 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_5}} = (1, - 2,1)\).
* Kiểm tra điều kiện vuông góc:
- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Cụ thể:
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_4}} = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_5}} = 0\)
- Tính các tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 2 \times 1 + 1 \times ( - 3) + ( - 3) \times 3 = 2 - 3 - 9 = - 10 \ne 0\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} = 2 \times 3 + 1 \times ( - 3) + ( - 3) \times 1 = 6 - 3 - 3 = 0\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_4}} = 2 \times 1 + 1 \times 2 + ( - 3) \times ( - 1) = 2 + 2 + 3 = 7 \ne 0\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_5}} = 2 \times 1 + 1 \times ( - 2) + ( - 3) \times 1 = 2 - 2 - 3 = - 3 \ne 0\)
- Chỉ có phương trình mặt phẳng \(B:3x - 3y + z - 7 = 0\) có tích vô hướng bằng 0 với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \), tức là mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng \(\alpha \).
Chọn B
Bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta giải một bài toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số và một khoảng xác định, sau đó yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị và các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử đề bài cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 trên khoảng [-1; 3].
Bước 1: Tính đạo hàm
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm cực trị
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xét dấu đạo hàm
Ta có bảng xét dấu:
| x | -1 | 0 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | + |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến | Đồng biến |
Bước 4: Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị và đầu mút
f(-1) = (-1)3 - 3(-1)2 + 2 = -2
f(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2
f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = -2
f(3) = 33 - 3(3)2 + 2 = 2
Bước 5: So sánh và kết luận
Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1; 3] là 2 (tại x = 0 và x = 3).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [-1; 3] là -2 (tại x = -1 và x = 2).
Ngoài bài tập 5.49, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các bài tập này có thể có những biến thể khác nhau, chẳng hạn như:
Tuy nhiên, phương pháp giải cơ bản vẫn là tìm đạo hàm, tìm điểm cực trị, xét dấu đạo hàm và tính giá trị hàm số tại các điểm quan trọng. Điều quan trọng là phải hiểu rõ bản chất của bài toán và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Giaitoan.edu.vn cung cấp một kho bài tập Toán 12 phong phú, đa dạng, bao gồm cả các bài tập tương tự bài tập 5.49. Các em có thể truy cập website để luyện tập thêm và củng cố kiến thức. Chúng tôi luôn cập nhật lời giải chi tiết, dễ hiểu và các phương pháp giải hiệu quả để giúp các em học tập tốt nhất.
Bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
