Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Đề bài
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:
a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);
b) Hai đường thẳng AB và CD;
c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Công thức góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)
- Công thức góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {CD} |}}\)
- Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 1,1 - 0,0 - 0) = ( - 1,1,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 1,0 - 0,1 - 0) = ( - 1,0,1)\)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = (1.1 - 0.0,\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).1,\,\,\,( - 1).0 - 1.( - 1)) = (1,1,1)\)
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - 1,1 - 0) = (0, - 1,1)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 2 - 0,1 - 1, - 1 - 0) = ( - 2,0, - 1)\)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = (( - 1).( - 1) - 1.0,1.( - 2) - 0.( - 1),0.0 - ( - 1).( - 2)) = (1, - 2, - 2)\)
- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = (1,1,1) \cdot (1, - 2, - 2) = 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 1 \times ( - 2) = - 3\)
- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:
\(|{{\bf{n}}_{ABC}}| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3\)
- Tính góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{| - 3|}}{{\sqrt 3 \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
b)
- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)\)
- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:
\(\overrightarrow {CD} = D - C = ( - 2 - 0,1 - 0, - 1 - 1) = ( - 2,1, - 2)\)
- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = ( - 1,1,0) \cdot ( - 2,1, - 2) = ( - 1 \times - 2) + (1 \times 1) + (0 \times - 2) = 2 + 1 = 3\)
- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:
\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 ,\quad |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt 9 = 3\)
- Tính góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 2 \times 3}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = {45^\circ }\)
c)
- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = ( - 1,1,0) \cdot (1, - 2, - 2) = - 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 0 \times ( - 2) = - 3\)
- Tính độ dài của các vectơ:
\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt 2 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = 3\)
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 2 \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 45^\circ \)
Bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán về tối ưu hóa. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Giả sử bài tập 5.35 yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 trên đoạn [0, 3].
Ngoài bài tập 5.35, SGK Toán 12 tập 2 còn nhiều bài tập tương tự liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Các bài tập này có thể thuộc các dạng sau:
Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, và các phương pháp giải phương trình đạo hàm. Ngoài ra, việc rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài và lựa chọn phương pháp giải phù hợp cũng rất quan trọng.
Khi giải các bài tập về đạo hàm và tối ưu hóa, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Việc nắm vững các bước giải và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia.
