Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
Đề bài
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có
phương trình là
A. \(2x - y - z + 5 = 0\)
B. \(2x - y - z - 5 = 0\)
C. \(x + y + z - 3 = 0\)
D. \(3x + 2y - z - 4 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)
trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 5}}{2};\frac{{3 + 1}}{2};\frac{{0 - 2}}{2}} \right) = \left( {3;2; - 1} \right)\)
Véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A}) = (5 - 1;1 - 3; - 2 - 0) = (4; - 2; - 2)\)
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB. Do đó, véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Vậy, véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng trung trực là:
\(\vec n = (4, - 2, - 2)\)
Gọi phương trình mặt phẳng trung trực là \(4x - 2y - 2z + D = 0\). Vì mặt phẳng này đi qua trung điểm \(M(3,2, - 1)\), nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:
\(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1) + D = 0\)
\(12 - 4 + 2 + D = 0\)
\(10 + D = 0 \Rightarrow D = - 10\)
Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
\(4x - 2y - 2z - 10 = 0\)
\(2x - y - z - 5 = 0\)
Chọn B
Bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số hoặc giải các bài toán tối ưu hóa sử dụng đạo hàm. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Giả sử bài tập 5.45 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x3 + 3x2 - 2 trên đoạn [-1; 3]. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên như sau:
Ngoài bài tập 5.45, SGK Toán 12 tập 2 còn nhiều bài tập tương tự liên quan đến ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải quyết các dạng bài tập này, các em cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, và các phương pháp xét dấu đạo hàm. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý một số điểm sau:
Bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững các bước giải và luyện tập thường xuyên, các em sẽ có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
