Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:
\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
b) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Kí hiệu \(\left( {d,(\alpha )} \right)\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\). Khi đó:
\(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}A + {a_2}B + {a_3}C} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
c) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:
\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).
Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):
\({\vec n_{(SBD)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (6;2;3)\)
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\): \(6.(x - 0) + 2.(y - 0) + 3.(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 6 = 0\).
Khoảng cách từ \(A(0,0,0)\) đến mặt phẳng \((SBD)\):
\(d = \frac{{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {49} }} = \frac{6}{7}\)
b) Tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SA} = (0;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là:
\({\vec n_{(SAB)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).0;( - 2).1 - 0.( - 2);0.0 - 0.1) = (0; - 2;0)\)
- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Để tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\), ta sử dụng công thức:
\(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {SD} \cdot {{\vec n}_{(SAB)}}|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}}\):
\(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}} = 0.0 + 3.( - 2) + ( - 2).0 = 0 - 6 + 0 = - 6\)
- Độ dài của \(\overrightarrow {SD} \) và \({\vec n_{(SAB)}}\):
\(\left| {\overrightarrow {SD} } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 4} = \sqrt {13} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Vậy: \(\sin \theta = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt {13} .2}} = \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
c) Tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SC} = (1;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\):
\({\vec n_{(SBC)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).3;( - 2).1 - 1.( - 2);1.3 - 0.1) = (6;0;3)\)
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SCD)\):
\({\vec n_{(SCD)}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (3 \cdot ( - 2) - ( - 2).3;( - 2).0 - ( - 2).1;3.1 - 3.0) = (0;2;3)\)
Để tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:
\(\cos \alpha = \frac{{|{{\vec n}_{(SBC)}} \cdot {{\vec n}_{(SCD)}}|}}{{\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}}\):
\({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}} = 6.0 + 0.2 + 3.3 = 0 + 0 + 9 = 9\)
- Độ dài của \({\vec n_{(SBC)}}\) và \({\vec n_{(SCD)}}\):
\(\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| = \sqrt {{6^2} + {0^2} + {3^2}} = \sqrt {36 + 0 + 9} = \sqrt {45} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {0 + 4 + 9} = \sqrt {13} \)
Vậy: \(\cos \alpha = \frac{{|7|}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {45} }} = \frac{7}{{\sqrt {585} }}\)
Bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Ví dụ, nếu đề bài yêu cầu tìm z sao cho |z| = 5, ta sẽ có:
√(a² + b²) = 5
a² + b² = 25
Đây là phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức. Để tìm z, ta cần thêm một điều kiện nữa, ví dụ như z là số thực hoặc z là số thuần ảo.
Ngoài bài tập 5.44, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến số phức. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Để giải các bài tập này, các em cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức và luyện tập thường xuyên. Ngoài ra, các em có thể tham khảo các tài liệu tham khảo, sách giáo khoa và các trang web học toán online để tìm hiểu thêm.
Khi giải bài tập về số phức, các em cần lưu ý một số điều sau:
Bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về số phức. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải trên, các em sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!
| Khái niệm | Công thức |
|---|---|
| Module của số phức | |z| = √(a² + b²) |
| Số phức liên hợp | z̄ = a - bi |
| Bảng tổng hợp các công thức quan trọng về số phức | |
