Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
Đề bài
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được.
b) Hỏi camera có thể quan sát toàn bộ sân hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định toạ độ các đỉnh của sân hình chữ nhật và của camera
- Lập phương trình mặt cầu:
Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I({x_0},{y_0},{z_0})\) và bán kính R:
\({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\)
- Xác định tọa độ các đỉnh của sân và kiểm tra xem chúng có nằm trong phạm vi vùng quan sát của camera hay không.
- Một điểm \(M(x,y,z)\) nằm trong vùng quan sát nếu khoảng cách từ M đến I nhỏ hơn hoặc bằng R.
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả vùng quan sát
- Các điểm của sân: \(A(0;0;0)\), \(B(15;0;0)\), \(D(0;20;0)\), \(C(15;20;0)\)
- Camera đặt tại điểm \(I(0,0,5)\), độ cao \(z = 5\) m trên mặt sân tại điểm A.
- Bán kính quan sát của camera là \(R = 25\) m.
Lập phương trình mặt cầu:
- Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,5)\) và bán kính \(R = 25\):
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 5)^2} = {25^2}\)
\({x^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 625\)
- Đây là phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng quan sát của camera.
b) Kiểm tra khả năng quan sát toàn bộ sân
* Tính khoảng cách từ các đỉnh của sân đến camera:
- Khoảng cách từ I đến A:
\(IA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5 - 0)}^2}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến B:
\(IB = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 25} = \sqrt {250} \approx 15.81{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến D:
\(ID = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {400 + 25} = \sqrt {425} \approx 20.62{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến C:
\(IC = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 400 + 25} = \sqrt {650} \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Camera có thể quan sát được toàn bộ sân nếu tất cả các đỉnh đều nằm trong bán kính quan sát. Ta thấy rằng khoảng cách \(IC \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}} > 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\). Do đó, điểm C nằm ngoài phạm vi quan sát của camera.
Bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán điển hình trong chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Trước khi đi vào giải bài toán cụ thể, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Bài toán 5.41 thường yêu cầu chúng ta:
Để minh họa, giả sử bài toán 5.41 có nội dung như sau:
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
y' = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
Ngoài bài tập 5.41, còn rất nhiều bài tập tương tự về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán 12. Để giải quyết các bài tập này, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em nên luyện tập thêm với các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Ngoài ra, các em có thể tham gia các khóa học Toán online tại giaitoan.edu.vn để được hướng dẫn chi tiết và giải đáp thắc mắc bởi các giáo viên giàu kinh nghiệm.
Bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải đã trình bày, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và làm bài tập Toán 12.
